设 $fin C^1(bR)$, 则 $$ex fmbox{ 是 }kmbox{ 次齐次函数}lra xf'(x)=kf(x). eex$$
证明: $ a$: 对 $f(lm x)=lm^kf(x)$ 两边关于 $lm$ 求导, 有 $$ex x f'(lm x)=klm^{k-1}f(x). eex$$ 令 $lm=1$ 即有 $$ex xf'(x)=kf(x). eex$$ $la$: 对任意固定的 $x$, 记 $$ex F(lm)=f(lm x)-lm^kf(x), eex$$ 则 $$eex ea lm F'(lm)&=lm sez{xf'(lm x)-klm^{k-1}f(x)}\ &=kf(lm x)-klm^k f(x)\ &=kF(lm). eea eeex$$ 求解上述 ode, 有 $$ex F(lm)=F(1)lm^k =0. eex$$
注记: 设 $fin C^1(bR^n)$, 则 $$ex fmbox{ 是 }kmbox{ 次齐次函数}lra sum_{i=1}^n x_ifrac{p f}{p x_i}(x)=kf(x). eex$$