1. 证明定理 1.
2. 验证上述结论.
3. 证明定理 3.
4. 证明定理 4.
证明: 由 $$ex x=sum_{k=1}^{n-1}a_kcdot sum_{j=1}^{n-1}cfrac{a_j}{sum_{k=1}^{n-1}a_k}x_j+a_nx_n eex$$ 及数学归纳法即知结论.
5. 证明定理 5.
证明: 仅证明 (iv). 设 $A,B$ 为两凸子集, 则对 $$ex forall x+y,u+vin A+B, eex$$ 有 $$eex ea a(x+y)+(1-a)(u+v)&=[ax+(1-a)u]+[ay+(1-a)v]\ &in A+Bquadsex{forall 0leq aleq 1}. eea eeex$$
6. 证明定理 6.
7. 证明定理 7.
证明: 设 $$ex F i x=cfrac{y+z}{2},quad y,zin K. eex$$ 由 $E$ 是 $K$ 的极子集知 $$ex y,zin E. eex$$ 又由 $F$ 是 $E$ 的极子集知 $$ex y,zin F. eex$$
8. 证明定理 8.
证明: 若 ${f M}^{-1}(E) eq vno$, 则由习题 5 (ix), ${f M}^{-1}( E)$ 是 ${f M}^{-1}(K)$ 的非空凸集. 设 $$ex {f M}^{-1}(E) i x=cfrac{y+z}{2},quad y,zin{f M}^{-1}(K), eex$$ 则 $$ex E i {f M}(x)=cfrac{{f M}(y)+{f M}(z)}{2},quad {f M}(x),{f M}(y)in K. eex$$ 由 $E$ 是 $K$ 的极子集知 $$ex {f M}(y),{f M}(z)in E, eex$$ 而 $$ex y,zin {f M}^{-1}(E). eex$$
9. 举例说明极子集在线性映射下的象未必是象的极子集.
解答: 取 $X=bR^2$, $U=bR$; $K$ 为梯形, 其顶点为 $(-1,0)$, $(2,0)$, $(1,1)$, $(0,1)$; $E$ 为 $K$ 的上底; ${f M}:X o U$ 为 ${f M}(x,y)=x$. 则 ${f M}(E)=[0,1]$ 不是 ${f M}(K)$ 的极子集.