$f 题目$. 设 $calX$ 是一个 $B$ 空间, $f:calX o overline{bR}sex{equiv bRcapsed{infty}}$ 是连续的凸泛函并且 $f(x) otequiv infty$. 若定义 $f^*:calX^* o overline{bR}$ 为 $$ex f^*(x^*)=sup_{xincalX}sed{sef{x^*,x}-f(x)}quadsex{forall x^*in calX^*}. eex$$ 求证: $f^*(x^*) otequiv infty$.
证明: 设 $x_0in calX$ 适合 $f(x_0)<infty$. 则由 $f$ 凸及在 $x_0$ 处连续知 $p f(x_0) eq emptyset$. 令 $x_0^*in p f(x_0)$, 则 $$ex f(x)geq f(x_0)+sef{x_0^*,x-x_0}quadsex{forall xincalX}, eex$$ 而 $$ex sef{x_0^*,x}-f(x) leq sef{x_0^*,x_0}-f(x_0)<infty, eex$$ 即有 $$ex f^*(x_0^*)leqsef{x_0^*,x_0}-f(x_0)<infty. eex$$