1 ($10$分) 设 $(calX,d)$ 是完备的度量空间, $A$ 是 $calX$ 到 $calX$ 中的映射, 记 $$ex a_n=sup_{x eq x'}frac{d(A^nx,A^nx')}{d(x,x')}. eex$$ 若 $dps{sum_{n=1}^infty a_n<infty}$, 求证: $A$ 有唯一的不动点.
提示: 存在性: 当 $n$ 充分大时, $A^n$ 是压缩映射.
2 ($10$分) 在度量空间中求证: 基本列是收敛列, 当且仅当其存在一收敛子列.
提示: 充分性: 利用三角不等式.
3 ($15$分) 在完备度量空间中求证: 为了子集 $A$ 是列紧的, 其充分必要条件是对 $forall ve>0$, 存在 $A$ 的列紧的 $ve$-网.
提示: 重复利用 Hausdorff 定理.
4 ($15$分) 设 $e_1,e_2,cdots,e_n$ 是实 $B^*$ 空间 $calX$ 中的线性无关的向量组. 证明: 存在 $c>0$, 使得对所有 $(x_1,x_2,cdots,x_n)in bR^n$, 有 $$ex sen{sum_{i=1}^nx_ie_i}geq cmax_{1leq ileq n}sev{x_i}. eex$$
提示: 考虑 $calX$ 的有限维 $B$ 子空间 $spansed{e_i}_{i=1}^n$, 其上的所有范数均是等价的.
5 ($10$分) 在内积空间 $(calX,(cdot,cdot))$ 中证明: 内积 $(x,y)$ 是 $calX imes calX$ 上的关于范数 $sen{cdot}$ 的连续函数.
提示: 分拆后利用三角不等式.
6 ($10$分) 设 $calX$ 是 $B^*$ 空间, $C$ 是一含 $ heta$ 点的闭凸集, $P(x)$ 是由 $C$ 产生的 Minkowski 泛函. 求证:
(1)如果 $C$ 是有界的, 则 $$ex P(x)=0lra x=0; eex$$
(2)若 $C$ 以 $ heta$ 为内点, 则 $C$ 是吸收的, 且 $P(x)$ 是一致连续的.
提示:
(1)利用定义 $$ex P(x)=inf sed{lambda>0; frac{x}{lambda}in C}quadsex{forall xin calX}; eex$$ (2)利用范数的齐次性及 $P(x)$ 适合的三角不等式.
7 ($15$分) 设 $calX$ 是 Hilbert 空间, $calX_0$ 是 $calX$ 的闭子空间, $sed{e_n}$, $sed{f_n}$ 分别是 $calX_0$ 和 $calX_0^perp$ 的正交规范基. 求证: $sed{e_n}cup sed{f_n}$ 是 $calX$ 的正交规范基.
提示: 利用 Hilbert 空间中对于闭子空间的正交分解.
8 ($15$分) 证明在实 空间中下述命题等价:
(1) $xperp y$;
(2) 对所有的 $kinbR$, 有 $sen{x+ky}=sen{x-ky}$;
(3) 对所有的 $kin bR$, 有 $sen{x+ky}=sen{x}$.
提示: 平方展开即可.
9 (附加题, $10$分) 设 $E$ 是 $B^*$ 空间 $calX$ 的一子集. 证明:
(1) 若 $span E eq calX$, 则 $E^o=emptyset$;
(2)若 $calX$ 是 $bR$ 上的有限维 $B^*$ 空间, $E$ 是 $calX$ 中的包含 $ heta$ 的闭凸集, 则 $$ex span E=calX lra E^o eq emptyset. eex$$
提示:
(1) 用反证法. 若 $E^o eq emptyset$, 则 $$ex exists x_0in E, r>0, s.t. B(x_0,r)subset E. eex$$ 于是 $$ex heta eq xin calX& a& x_0+frac{r}{2sen{x}}xin B(x_0,r)subset E\ & a& exists yin B(x_0,r)subset E, s.t. x_0+frac{r}{2sen{x}}x=y\ & a& x=frac{2sen{x}}{r}sex{-x_0+y}in span E. eex$$ (2)$la$: 由 (a) 即知. $ a$: 设 $span E=calX$, 则存在 $E$ 中线性无关的向量组 $sed{e_i}_{i=1}^nsubset E$ 使得 $span sed{e_i}_{i=1}^n=calX$. 记 $$ex e_0=frac{1}{n+1}sum_{i=1}^n e_isex{mbox{点列 }0,e_1,cdots,e_n mbox{的重心}}, eex$$ 则由 $0in E$ 及 $E$ 凸知 $e_0in E$. 往证 $e_0in E^o$. 事实上, $$ex xin calX& a&exists ! mu_iin bR, s.t. x=sum_{i=1}^nmu_i(e_i-e_0)+e_0\ & a&x=sum_{i=1}^n mu_ie_i+sex{1-sum_{j=1}^n mu_j}e_0\ & &quad =sum_{i=1}^n mu_ie_i+sex{1-sum_{j=1}^n mu_j} frac{1}{n+1}sum_{i=1}^ne_i\ & &quad =sum_{i=1}^n sez{mu_i+frac{1}{n+1}sex{1-sum_{j=1}^nmu_j}}e_i\ & &quad equiv sum_{i=1}^n lambda_ie_i. eex$$ 当 $dps{max_{1leq ileq n}sev{mu_i}}$ 充分小时, $$ex 0<lambda_i<1quadsex{1leq ileq n},quad sum_{i=1}^nlambda_i<1. eex$$ 于是由 $0in E$ 及 $E$ 凸知 $xin E$. 如此, 当 $$ex sen{x-e_0} =sen{sum_{i=1}^n mu_i(e_i-e_0)} leq sum_{i=1}^n sev{mu_i}cdotsen{e_i-e_0} leq max_{1leq ileq n}sev{mu_i}cdot sum_{i=1}^n sen{e_i-e_0} eex$$ 充分小时, $yin E$.