(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]) 设 ${f A}$ 为 $s imes n$ 矩阵. 证明: $$ex s- ank({f E}_s-{f A}{f A}^T)=n- ank({f E}_n-{f A}^T{f A}). eex$$
证明: 由 $$eex ea sex{a{cc} {f E}_s&-{f A}\ {f 0}&{f E}_n ea} sex{a{cc} {f E}_s&{f A}\ {f A}^T&{f E}_n ea} sex{a{cc} {f E}_s&{f 0}\ -{f A}^T&{f E}_n ea}&=sex{a{cc} {f E}_s-{f A}{f A}^T&{f 0}\ {f 0}&{f E}_n ea},\ sex{a{cc} {f E}_s&{f 0}\ -{f A}^T&{f E}_n ea} sex{a{cc} {f E}_s&{f A}\ {f A}^T&{f E}_n ea} sex{a{cc} {f E}_s&-{f A}\ {f 0}&{f E}_n ea}&=sex{a{cc} {f E}_s&{f 0}\ {f 0}&{f E}_n-{f A}^T{f A} ea} eea eeex$$ 知 $$ex ank({f E}_s-{f A}{f A}^T)+n= anksex{a{cc} {f E}_s&{f A}\ {f A}^T&{f E}_n ea}=s+ ank({f E}_n-{f A}^T{f A}). eex$$