多叉树的基本概念

多叉树：

二叉树的问题分析

二叉树的操作效率较高，但是也存在问题, 请看下面的二叉树

1)   二叉树需要加载到内存的，如果二叉树的节点少，没有什么问题，但是如果二叉树的节点很多(比如 1 亿)， 就存在如下问题:

2)   问题 1：在构建二叉树时，需要多次进行 i/o 操作(海量数据存在数据库或文件中)，节点海量，构建二叉树时， 速度有影响

3)   问题 2：节点海量，也会造成二叉树的高度很大，会降低操作速度.

多叉树的概念

　　树家族是为了实现方便快捷的查找而存在的。树的高度是命中查找的一个不可抗拒的时间下限。在一定的数据条件下，树的高度和宽度是互相制约的。

（就像一定面积下，矩形的长和宽是互相制约的）而树家族中最简单的二叉树，尽管易于实现，却不能有实际的价值。

　　其最最令人发指的是二叉树的高度太高。n叉树的提出和实现解决了二叉树的不足，典型的n叉树有：2-3-4树/红黑树和B树。

B树的基本介绍：

B 树通过重新组织节点，降低树的高度，并且减少 i/o 读写次数来提升效率。

1)   如图 B 树通过重新组织节点， 降低了树的高度.

2)   文件系统及数据库系统的设计者利用了磁盘预读原理，将一个节点的大小设为等于一个页(页得大小通常为 4k)， 这样每个节点只需要一次 I/O 就可以完全载入

3)   将树的度M 设置为 1024，在 600 亿个元素中最多只需要 4 次 I/O 操作就可以读取到想要的元素, B 树(B+)广泛应用于文件存储系统以及数据库系统中

了解节点的度与树的度：

 多叉树-2-3树

2-3树概念：

2-3树是最简单的B+树，具有一下特点：

• 2-3树的所有叶子节点都在同一层.(只要是 B 树都满足这个条件)
• 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点.
• 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点.

• 2-3 树是由二节点和三节点构成的树。

2-3树初识图解：

2-3树仍然要保证二叉排序树的规则：左边的数比node小，右边的数比node点大

11的位置要介于10跟14之间

2-3树的插入规则：

• 2-3树的所有叶子节点都在同一层.(只要是B 树都满足这个条件)
• 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点.
• 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点
• 当按照规则插入一个数到某个节点时，不能满足上面三个要求，就需要拆，先向上拆，如果上层满，则拆本层，拆后仍然需要满足上面3 个条件。
• 对于三节点的子树的值大小仍然遵守(BST二叉排序树)的规则 

注意：二节点有且只有1个数据项。三节点有且只有2个数据项

2-3树原理图解：

　　将数列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 构建成 2-3 树，并保证数据插入的大小顺序。(演示一下构建 2-3树的过程.)

2-3-4树概念

 除了 23 树，还有 234 树等，概念和 23 树类似，也是一种 B 树。 如图:

 

4节点，表示可以有四个子节点

B树、B+树和 B*树

B树的介绍

B-tree 树即 B 树，B 即 Balanced，平衡的意思。有人把 B-tree 翻译成 B-树，容易让人产生误解。会以为 B-树是一种树，而 B 树又是另一种树。实际上，B-tree 就是指的 B 树。

B树的介绍

　　前面已经介绍了 2-3 树和 2-3-4 树，他们就是 B 树(英语：B-tree 也写成 B-树)，这里我们再做一个说明，我们在学习 Mysql 时，经常听到说某种类型的索引是基于 B 树或者 B+树的，如图: 

 对上图的说明:

1. B树的阶：节点的最多子节点个数。比如2-3树的阶是3，2-3-4 树的阶是4
2. B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点
3. 关键字集合分布在整颗树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据.
4. 搜索有可能在非叶子结点结束,其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

B+树的介绍

B+树是 B 树的变体，也是一种多路搜索树。

1.  B+树的搜索与B 树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找
2. 所有关键字都出现在叶子结点的链表中（即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】），且链表中的关键字(数据) 恰好是有序的。
3. 不可能在非叶子结点命中
4. 非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层
5. 更适合文件索引系统
6. B树和B+树各有自己的应用场景，不能说B+树完全比B 树好，反之亦然.

B*树的介绍

B*树是 B+树的变体，在 B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。

Ø  B*树的说明:

1. B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为 2/3，而 B+树的块的最低使用率为的1/2。
2. 从第 1 个特点我们可以看出，B*树分配新结点的概率比 B+树要低，空间使用率更高