一、关于复数
(1) 复数是实数的扩充，具有不同于实数的性质。例如不可比较大小。
(2) 关于复数，首要的问题是复数是否具有完备性，对复数进行运算 + - * / 共轭 开方 极限运算所得结果仍是复数。一些运算规律结合律分配律等同实数。
(3) 复数域是否可定义序？
(4) 复数的表达方法。 代数表达 $z=x+ i y$,称$x=Re(z),y=Im(z)$; 指数表达 $ z=r e^{ i( heta +2kpi)}$ .模与幅角的概念，幅角具有多值性这是某些函数多值性的本质原因。三角表达形式$z=r(cos heta +i sin heta )$。这里利用了伟大的 Euler 公式
[e^{i heta}=cos heta +i sin heta ]
(5) 复数在几何中的应用。二维平面的曲线 $f(x,y)=0$，把 $x$ 看成复数$z$的实部 $y$看作复数$z$的虚部，则
[g(z,ar{z})=f(frac{z+ar{z}}{2},frac{z-ar{z}}{2})=0]
最重要的是以$a$为圆心半径为$r$的圆的表达：
[|z-a|=r]
参数表达形式
[z=a+re^{i t}]
其中$t in [0,2pi]$
(6) 广义复数，利用黎曼球映射到复平面，球极投影。弄清这个映射的性质，例如对应法则，保角性等。
(7) 复平面上的点集。最重要的是有界闭集、紧集等。引进拓扑，定义内点 聚点 邻域 开集 闭集 Borel集 $sigma$代数等。
二、关于复变函数
(8) 复变函数的定义 $ omega= f(z) $ 定义域 映射法则 值域
(9) 实变复值函数 $z(t)=x(t)+i y(t)$.可以把它看成一个质点运动形成的轨道。
(10) 复变函数的二元数对表达形式
$$f(x+iy)=u(x,y)+i v(x,y)$$
(11) 极限（数列与函数）的定义 $lim_{z o z_{0}}f(z)=A.$ $varepsilon$-$delta$语言. 应当注意复数域极限的定义与实数域极限定义的不同。$z o z_{0}$也即要求趋于的方向是任意的，一元实变函数只是左右趋近，这里对应二元数对$(x,y) o (x_{0},y_{0})$. 极限理论的基本定理如运算定理 柯西判别法 波尔扎诺-魏尔斯特拉斯定理等。
(12) 复变函数的连续性判断。复变函数的一致连续判断。
(13) 复变函数 $f(z)$ 能否像实变函数 $f(x)$ 那样作出 $z-f(z)$图像？这是不能的，因为$z$是二维的 $f(z)$也是二维的！如果生活在更高维空间是可以作出直观图的，复变函数的可视化研究。更多的是研究$f(D)$.
(14) 复变函数的可导性与可微型。单复变可导和可微是等价的，但是可导和可微不是一件事。导数的定义本身提供了一种函数是否可导的判断准则。
(15) 解析函数的性质是函数论研究的中心。$f(z)$区域$D$内每一点都是可导的（単演）则称$f(z)$在$D$解析。$f(z)$在$z_{0}$处解析的定义为在$z_{0}$的一个邻域解析。因此解析的概念比可导强！
(16) 由于复变函数极限的定义其导数存在的条件要求相比实变函数的导数来说要严格的多，因此得到的结论也更强更多。构成了复变函数和实变函数的本质区别。
(17) Cauchy-Riemman 条件的导出与 共轭调和函数。连续函数可微的充要条件是 C-R 条件成立。这是在$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$形式下进行探讨的。
[frac{partial u}{partial x}=frac{partial v}{partial y}]
[frac{partial u}{partial y}=-frac{partial v}{partial x}]
其中$u,v$都是调和函数，关于调和研究是一个专门的分支，可见调和函数和解析函数是密切关联的。若将$f(z)$写成
[f(z)=f(x,y)=f(frac{z+ar{z}}{2},frac{z-ar{z}}{2 i})]
则
[frac{partial f}{partial ar{z}}=frac{1}{2}(frac{partial f}{partial x}+ifrac{partial f}{partial y})]
将
[frac{partial f}{partial x}=frac{partial u}{partial x}+i frac{partial v}{partial x}]
[frac{partial f}{partial y}=frac{partial u}{partial y}+i frac{partial v}{partial y}]
带入得到
[frac{partial f}{partial ar{z}}=0]
(18) 导数的几何意义：伸缩率
(19) 若$z_{0}$处不解析则称$z_{0}$为奇点;若除此点外在其一小邻域内出处解析则称$z_{0}$为孤立奇点。从定义看的确够孤立的了。
(20) 复连续函数处处不可导例子比比皆是例如 $f(z)=|z|$，一元实变函数构造这样的例子很难，可以参考Weierstrass函数.
(21) 上面引入了解析函数并给出了判别方法（定义、C-R条件）。
(22) 一些初等解析函数。注意与实函数的本质不同。例如 $e^{z}$是周期函数不再存在单调函数的说法因为复数无法比较大小；$sin(z),cos(z)$不再是有界函数。对数函数$Ln (z)$与乘幂$a^{b}$的多值性。
复变函数的主要理论由 Cauchy、Weierstrass、Riemman分别从积分和幂级数以及几何的角度建立，主要复习了前两项。
三、关于Cauchy积分定理
(23) 复变函数积分的定义从实分析可知积分总是和曲线、区域概念密切相关的。
(24) 若曲线$z(t)=x(t)+iy(t)$是连续变化的且没有重点，这样的曲线称为Jordan曲线，若是闭的则称为简单闭曲线。若$z'(t)$存在且连续称曲线为光滑闭曲线，若周长是有限的则称为可求长简单闭曲线，时间$t$是有向的，故曲线存在起点和终点。简单闭曲线分复平面为两部分内部和外部。外部指含有无穷远点的那部分。koch 曲线是不可求而且处处不可微的简单闭曲线! (可以计算Koch curve上的积分以厘清一些概念)
(25) 道路的概念，若定义域G内点 M 和点 N 之间存在足够多的折线把它们连接起来，则称 M与 N之间存在道路，G是道路连通的。
(26) 区域 G 的定义，G是由内点组成的(开集)，G中的任意两点存在道路。总而言之，区域是指连通的开集。
(27) 单连通域（单连域）是指区域 G 内的任意简单闭曲线的内部仍然属于G。形象讲指不含洞的区域。
(28) $f(z)$沿曲线 C 的积分，这是一个线积分，分割，求和，取极限的老办法，将曲线 C 分为若干段弧 分割点分别是 $z_{0},z_{1},cdots,z_{n}$,并记弧长$l_{k}=hat{z_{k-1}z_{k}}$,则$C=sum_{k} l_{k}$,取$xi_{k} in l_{k}$,令$lambda=max_{k}|l_{k}|,Delta z_{k}=z_{k}-z_{k-1}$定义
[int_{C}f(z)dz=lim_{lambda o 0}sum_{k}f(xi_{k})Delta z_{k}]
要论证上面的定义是合理的，首要的任务是论证右端的极限值是和取哪一种划分是没有关系的，不禁想起了达布大和和达布小和。
若$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，则
[int_{C}f(z)dz=int_{C}(u+iv)d(x+iy)=int_{C}udx-vdy+iint_{C}vdx+udy]
若$f(z)=f(z(t))$,则
[int_{C}f(z)dz=int_{alpha}^{eta}f(z(t))z'(t)dt]
上面实际上给出了三种计算复积分的方法，但是定义提供的方法用来计算很多时候是不实用的，理论上具有很大意义，下面的两种定义方法可以根据定义推导出。
一个比较重要的例子是
[ int_{C}frac{1}{(z-z_{0})^{n+1}}dz=egin{cases} 2pi i &{n=0}\0 &{n eq 0}end{cases} ]
其中 C 是 绕$z_{0}$的闭圆周方向是正向(逆时针方向)，证明也是比较简单的设$C: z=z_{0}+re^{it},0leq t leq 2pi$则
[int_{C}f(z)dz=ifrac{1}{r^{n}}int_{0}^{2pi}(cos nt+i sin nt )dt]
从计算结果上来看，所得的结果与跟半径$r$是无关的也就是说跟哪个圆周是没关系的。这个积分有特殊的重要性在很多时候会用到，例如证明Cauchy积分公式时。
(29) 有了复积分的定义之后自然要讨论它的性质，线性型是很明显的自不必言。不同曲线上的积分，可用“特征函数架金桥”。
(30) 放大不等式:设曲线$C$的长度是$L$ ,$M=sup_{zin C}|f(z)|$则
[|int_{C}f(z)dz|leq int_{C}|f(z)||dz|leq ML]
这样一个简单的放大不等式在单复分析中起着基础性的作用。
复积分最重要的是下面的一条性质谓之曰 Cauchy积分定理。
(31) Cauchy积分定理: 设$D$是复平面的单连通域，且$fin H(D)$且$f'(z)$在$D$中连续，$C$是$D$内任意可求长简单闭曲线则
[int_{C}f(z)dz=0]
实际上上面定理中的$f'(z)$条件是多余的，Riemman假设$f'(z)$连续利用Green公式和C-R条件给出了一个简单证明。Goursat去掉了这一条件得到了
Cauchy-Goursat定理：设$D$是复平面的单连通域，且$fin H(D)$，设$C$是$D$内任意可求长简单闭曲线则
[int_{C}f(z)dz=0]
这个证明相比而言当然要复杂的多，Goursat的证明是富有特色的，其主要思想是首先用内接正多边形上的积分逼近可求长简单闭曲线上的积分，从直观上考虑这样是可以做到的只要取足够多的折线，但是我们让然要小心翼翼因为“误差的叠加可能造成意想不到的后果”；然后把正多边形上的积分分为若干个三角形积分之和，只要证明在三角形上的复积分为0就完成了证明。具体可参看 普里瓦洛夫的《复变函数引论》。这个定理是很深刻的。
(32) 复合闭路定理：Cauchy-Goursat定理探讨了解析函数在单连域中的可求长闭曲线的积分，对于多连通域$D$,$fin H(D)$,$C,C_{1},cdots,C_{n}$为区域$D$内的可求长闭曲线且$C_{1},C_{2},cdots,C_{n}$均位于$C$的内部，且每一条曲线位于其他曲线的外部则
[int_{C}f(z)dz=sum_{k=1}^{n}int_{C_{k}}f(z)dz]
这个定理的证明也是简单的，思路是将多连通化为单连通，适当的作辅助线将洞连接起来，我们应当仔细辨别曲线的方向。
(33) 不定积分，从(30)上看$D$上的解析函数$f(z)$满足
[int_{C}f(z)dz=0]
这个公式意味着从$z_{0}$到$z$的积分与路径无关，之所以这么说是因为上面的公式保证了沿任意的两条路径积分是相等的。
从而我们定义的一个新的函数
[F(z)=int_{z_{0}}^{z}f(z)dz]
得到了新的函数，自然要讨论它的分析性质连续性和可微性，可证$F(z)$是$f(z)$的一个原函数。
[F'(z)=lim_{Delta z o 0}frac{F(z+Delta z)-F(z)}{Delta z}=lim_{delta z o 0}int_{z}^{z+Delta z} f(s)ds=f(z)]
最后一步利用了$f(z)$的连续性。因此$F(z)$是在区域$D$是解析的，$F in H(D)$.
Newton-Leibniz公式
[int_{z_{0}}^{z}f(z)dz=F(z)-F(z_{0})]
(34) 关于(31)定理可作下列形式上的减弱，设$D$是逐段光滑的可求长简单闭曲线$C$的内部，$fin H(D)$且$fin C(ar{D})$则
[int_{C}f(z)dz=0]
从定理上看条件的确是减弱了，不要求在$C$上解析而代之要求$fin C(ar{D})$,证明思路是容易想到的，利用(31)$f(z)$在$ar{D}$上连续因此是一致连续的，我们可以从新构造一条围道$L$使得这条围道位于$D$内部而且这条围道与$C$之间的距离足够小，这样由于一致连续两积分也足够小，而[int_{L}f(z)dz=0]
这个定理也具有很大的实用性，是在边界上的积分。
(35) Cauchy积分公式，设$D$是可求长简单闭曲线$C$围成的域，且$fin H(D)cap C(ar{D})$则对任意$zin D$有
[f(z)=frac{1}{2pi i}int_{C}frac{f(xi)}{xi-z}dxi]
设$C_{varepsilon}$为圆心为$z$半径为$varepsilon$的圆周，$C_{varepsilon}$位于$D$内，由复合闭路定理知
[int_{C_{varepsilon}}frac{f(xi)}{xi-z}dxi=int_{C}frac{f(xi)}{xi-z}dxi]
用拟合法 由(28)知
[f(z)=frac{1}{2pi i}int_{C_{varepsilon}}frac{f(z)}{xi-z}dxi]
两式相减利用连续性和放大不等式就可。
我们从另一个角度来看待这个积分
[f(z)=frac{1}{2pi i} int_{C_{varepsilon}}frac{f(xi)}{xi-z}dxi=frac{1}{2pi}int_{0}^{2pi}f(z+varepsilon e^{it})dt ]
上面这个公式说闭圆上的积分的均值等于函数在圆心的取值。这样这个定理就更加清楚，是一个很自然的结果，是可以不依赖于$Cauchy$积分定理和复合闭路定理的，它是一个独立的结果。
从上面这个公式可以得到最大模原理。
(36) 类似的，(35)对复合闭路多连通域也是成立的。
(37) (35)表明区域内一点的函数值$f(z)$可由围绕它的一条围道上的积分表达，一般称积分
[int_{C}frac{f(xi)}{(xi-z)^{n+1}}dxi]
为$Cauchy$型积分。
(38) 高阶导公式
[f^{(n)}(z)=frac{n!}{2pi i}int_{C}frac{f(xi)}{(xi-z)^{n+1}}dxi]
形式上看就是积分号下求导，可由数学归纳法严格证明，高阶导公式揭示了$f(z)$若在$z_{0}in D$处解析，则$f^{(n)}(z)$也在$z_{0}$处解析，这是同实分析的一个本质不同。为什么会有那么强的结论，正如(16)所言因为极限的条件相比要严的多。
利用放大不等式得到圆盘上高阶导的一个估计,设$fin H(B(z,R))$且$|f(z)|leq M$
[|f^{(n)}(z)| leq frac{n!}{2pi}int_{partial B}|frac{f(xi)}{(xi-z)^{n+1}}||dxi| leq frac{n!M}{R^{n}}]
这个不等式也称为Cauchy不等式。利用 Cauchy 不等式可给出 Liouville 定理的一个证明。
Liouville定理：有界整函数$f(z)$(整个复平面都是解析函数)比为常函数。
由Cauchy不等式
[|f'(z)|leq frac{M}{R}]
令$R o infty$得$f'(z)=0$,因而$f(z)$为常函数。关于最后一点$f'(z)=0$可得$f(z)$实部和虚部均为常数故 $f(z)=const$ .在一元实分析里Langrange定理
[f(x)-f(y)=f'(xi)(x-y)=0,xi in (x,y)]
复变函数是否有类似的中值定理？可首先由初等解析函数探讨，即使有所谓的“中值”估计未必在两点连线上了。
用Liouville定理证明代数学基本定理，代数学基本定理指任意复系数多项式
[f(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+cdots+a_{0}]
在复数域必有零点。
证 若无零点则 $g(z)=frac{1}{f(z)}$,$lim_{z o infty}f(z)=infty$这里应当注意$infty$的理解不妨把它理解为一个模无穷大的复数
[lim_{z o infty}f(z)=lim_{z o infty} z^{n}(a_{n}+a_{n-1}frac{1}{z}+a_{n-2}frac{1}{z^2}+cdots+a_{0}frac{1}{z^{n}})]
那么$lim_{z o infty}g(z)=0$,则存在$R$使得$|z|geq R$时
$|g(z)|leq 1$
当$|z|leq R$时，$g(z)$是有界的。所以$g(z)$是有界整函数，依Liouville定理$g(z)=const$得到一个矛盾.
(39) 有了(38)高阶导数公式
[f^{(n)}(z)=frac{n!}{2pi i}int_{C_{varepsilon}}frac{f(xi)}{(xi-z)^{n+1}}dxi]
自然要问 $f(z)$在解析点$z_{0}$处能否 Taloy 展开？
[f(z)=frac{1}{2pi i}int_{C_{varepsilon}}frac{f(xi)}{(xi-z_{0})^{n+1}}dxi (z-z_{0})^{n}]
答案是肯定的。先从一个简单的级数谈起
[frac{1}{1-z}=1+z+z^{2}+cdots+z^{k}+cdots]
四、关于解析函数的幂级数展开
(39) 首先级数的收敛半径 $ R=1 $ , 级数在 $ |z|leq 1$ 时是绝对收敛的(但非一致收敛，内闭一致收敛)那么由Cauchy积分公式
egin{align*} f(z)&=frac{1}{2pi i}int_{C}frac{f(xi))}{xi -z}dxi \&=frac{1}{2pi i}int_{C}frac{f(xi)}{xi-z_{0}-(z-z_{0})}dxi \&=frac{1}{2pi i}int_{C}frac{f(xi)}{(xi-z_{0})(1-frac{z-z_{0}}{xi-z_{0}})}dxi \&=frac{1}{2pi i}int_{C}frac{f(xi)}{xi-z_{0}}sum_{n=0}^{infty}(frac{z-z_{0}}{xi-z_{0}})^{n}dxi \&=sum_{n=0}^{infty}frac{1}{2pi i}int_{C}frac{f(xi)}{(xi-z_{0})^{n+1}}dxi (z-z_{0})^{n}end{align*}
一些备注: $z_{0}$位于解析圆内，故$|frac{z-z_{0}}{xi-z_{0}}| leq 1$. 关于求和和积分交换次序是因为内闭一致收敛性。由于 Taloy级数展示的唯一性我们再次得到高阶导公式
[f^{(n)}(z)=frac{n!}{2pi i}int_{C}frac{f(xi)}{(xi-z_{0})^{n+1}}dxi ]
定理 若$f(z)in H(B(z_{0},R))$，则$f(z)$可以在$B(z_{0},R)$中展开称幂级数形式
[f(z)=sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}}{n!}(z-z_{0})^{n}]
定理 $f(z)$在$z_{0}$处解析的充分必要条件是$f$在$z_{0}$的一个邻域可以展成幂级数
[f(z)=sum_{n=0}^{infty}c_{n}(z-z_{0})^{n}]
如果两边在围道$C$积分,$C$为(31)中的$C$,利用$Weierstrass$定理可见
[int_{C}f(z)dz=0]
(40) (39)考虑了解析函数在圆盘$|z-z_{0}|leq R$内的展示为幂级数形式(Taloy公式)，那么在圆环内的解析函数是否也可以展成幂级数呢？答案是否定的！
先来看一下所谓的 Laurent 级数的定义
[sum_{-infty}^{+infty}c_{n}(z-z_{0})^{n}=sum_{n=1}^{infty}c_{-n}(z-z_{0})^{-n}+sum_{n=0}^{infty}c_{n}(z-z_{0})^{n}]
如果$c_{-n}=0$那么Laurent级数退化成Taloy级数，根据(39)的定理解析函数的Laurent展式 $c_{-n}=0$.
我们首先来考察两个函数
[f(z)=frac{sin z}{z}]
已知$sin z$在复平面上是全纯的在$z=0$处解析，且
[sin z=z-frac{z^3}{3!}+frac{z^{5}}{5!}+cdots+(-1)^{n}frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}+cdots]
那么
[frac{sin z}{z}=1-frac{z^2}{3!}+frac{z^{4}}{5!}+cdots+(-1)^{n}frac{z^{2n}}{(2n+1)!+cdots}]
由(39)的定理$f(z)=frac{sin z}{z}$在$z=0$处是解析的，也可以用验证$f(z)$在$z=0$并且它的邻域内可导，$f(z)$在复平面解析。
考察函数
[g(z)=frac{1}{z}]
这个函数在$z=0$处是无法展成幂级数的，不然假设
[frac{1}{z}=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+c_{3}z^{3}+cdots]
那么由Abel第二定理$lim_{z o 0}g(z)=c_{0}$矛盾.但是$g(z)$可以展成Laurent级数
[g(z)=sum_{n=1}^{infty}c_{-n}z^{-n}+sum_{n=0}^{infty}c_{n}z^{n}]
其中$c_{-1}=1,c_{n eq -1}=0$.
考察在去心邻域$D：={z|0< |z| <R}$(圆环)的展式$z_{0}in D$那么$B(z_{0},delta) subset D,|z-z_{0}|<|z_{0}|$
[frac{1}{z}=frac{1}{z-z_{0}+z_{0}}=frac{1}{z_{0}(1-frac{z_{0}-z}{z_{0}})}=sum_{n=0}^{infty}frac{(-1)^{n}}{{z_{0}}^{n+1}}(z-z_{0})^{n}]
所以$frac{1}{z}$在$D$内解析。
问题 解析函数在圆盘内能展成Taloy级数，那么在圆环内的展示形式是什么样呢？
再回顾下(39)式发现，圆盘上的解析函数$f(z)$之所以能展成Taloy公式在于圆盘上的Cauchy积分公式(35).为了探究圆环上的解析函数$f(z)$的展示，我们需要探索类似的圆环上的Cauchy积分公式，设$f(z)$在圆环$D={z:r<|z-z_{0}|<R}$的边界为$Gamma$方向正向，$zin D$，那么由复合闭路公式
[int_{Gamma}frac{f(xi)}{xi-z}dxi=int_{C_{varepsilon}}frac{f(xi)}{xi-z}dxi]
其中$C_{varepsilon}subset D$，足够小。由一般的Cauchy积分公式(35)得
[int_{C_{varepsilon}}frac{f(xi)}{xi-z}dxi=2pi i f(z)]
所以
[f(z)=frac{1}{2pi i}int_{Gamma}frac{f(xi)}{xi-z}dxi]
其中$Gamma$正向，设$Gamma$是由两条圆周$C_{1}$和$C_{2}$组成的,$C_{1}$外圆周,$C_{2}$内圆周那么
[f(z)=frac{1}{2pi i}int_{C_{1}}frac{f(xi)}{xi-z}dxi-frac{1}{2pi i}int_{C_{2}}frac{f(xi)}{xi-z}dxi]
我们$f(z)$在圆环$D$的积分表达式来探索$z_{0}in D$处的展式，不妨
[I_{1}:=int_{C_{1}}frac{f(xi)}{xi-z}dxi]
[I_{2}:=int_{C_{2}}frac{f(xi)}{xi-z}dxi]
对$I_{1}$由
[frac{1}{xi-z}=frac{1}{(xi-z_{0})(1-frac{z-z_{0}}{xi-z_{0}})}=sum]