我还是简单解释一下，如果是没有读过高等数学的朋友，也让你大致明白。
定积分的本质是求和，计算f(x)在积分区间[a,b]上的一个和Ｓ，首先把积分区间分成n份，这样的分法记为λ，记Δ(λ)=max{Δx|[xi-1,xi]}，也就是所有这些分成的小段中长度最大的一段的长，如果当Δ→０的时候，和式Ｓ＝∑f(θ)Δx (θ∈[xi-1,xi])的极限如果存在的话，就称其为f(x)在[a,b]上的定积分，记为
b
∫f(x)dx
a
其意义从几何上解释，就是f(x)的曲线与x轴、直线x=a,x=b围成的图形的面积。
现在要求的多边形是由线段组成的，只要把所有的线段都求定积分，最后把和加起来，就是多边形的面积。这个推论的证明从略。值得注意的是，用定积分求的面积有正负之分，即：
∫f(x)dx=-∫f(x)dx
从a积到b，与从b积到a只相差一个负号。
线段定积分的计算公式的推导
给出两个点，如何求这两点连成的线段的定积分值呢？
直线的方程可以用y=kx+b表示，所以围成的面积
S=
x2
∫(kx+b)dx
x1
=k/2(x2^2-x1^2)+b(x2-x1)
而斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)
截距b=y1-kx1=y1-x1(y2-y1)/(x2-x1)，代入前式得
S=(y2-y1)(x2+x1)/2+y1(x2-x1)-x1(y2-y1)
=(x2-x1)(y1+y2)/2
这让我想到一个初等公式，梯形面积公式，y1,y2看成上下底，(x2-x1)看成是高，上底加下底乘高除二，对直线定积分得到的正是这个梯形的面积。这样走了一个大弯又回到初中了。
Ｃ++程序代码
#include<iostream.h>
float linesqr(x1,y1,x2,y2)
float x1,y1,x2,y2;
{return (x2-x1)*(y1+y2)/2.0;}
void main()
{
float fx,fy,x1,y1,x2,y2,s=0.0;
int n,i;
cout<<"多边形的顶点数";
do{cin>>n;}
while(n<3);
cout<<"第1个点坐标"<<endl;
cin>>x1>>y1;fx=x1;fy=y1;
cout<<"第2个点坐标"<<endl;
cin>>x2>>y2;
s=linesqr(x1,y1,x2,y2);
for(i=3;i<=n;++i)
{
x1=x2;y1=y2;
cout<<"第"<<i<<"个点坐标"<<endl;
cin>>x2>>y2;
s+=linesqr(x1,y1,x2,y2);
}
s+=linesqr(x2,y2,fx,fy);//首尾相连
cout<<"多边形的面积为"<<s<<endl;
}