Codeforces Round #821 (Div. 2)

A. Consecutive Sum

根据下标模 \(k\) 的结果把数组分成 \(k\) 类，连续的 \(k\) 个数字必定种类互不相同，然后就把每一类最大的那个数求出来然后累加即可。

B. Rule of League

假设 \(x < y\)。

假设有 \(a\) 个人赢 \(x\) 场， \(b\) 个人赢 \(y\) 场，那么有 \(ax + by = n - 1, a + b = n\)。

如果 \(x > 0\)，有 \(ax + by >= n\) ，无解。

如果 \(y = 0\)，有 \(ax + by = 0\)，无解。

此时\(x = 0, y > 0\)，\(by = n - 1\)，有解当且仅当 \(y \mid (n - 1)\)。

输出方案的话就是第一场随便选个选手赢，这个选手会连赢 \(y\) 场，然后在第 \(y + 1\) 场输掉，然后第 \(y + 1\) 场的胜者又连赢 \(y\) 场，以次类推。

C. Parity Shuffle Sorting

考虑让 \(a_1 = a_2 = \dots = a_n\)。

首先操作首元素和尾元素，现在首尾相等。

然后，对于中间的每一个元素，都可以选择跟首元素或者尾元素操作，从而变成首元素或者尾元素。

D1. Zero-One (Easy Version)

首先，令\(c_i = a_i \operatorname{xor} b_i\)，那么问题转化为通过这些操作使得 \(c_i\) 变成全 0 的最小代价。

每次操作会让 \(c_i\) 中 1 的个数减 2 ，不变或者加 2 。所以当 \(c_i\) 中有奇数个 1 时无解。

现在 \(c_i\) 中有偶数个 1 。

本题中 \(x \ge y\)，那么优先用 \(y\) 操作。

假设只有两个 1 且两者相邻，只有这个时候才可能使用 \(x\) 。可以考虑使用一次 \(x\)，或者使用两次 \(y\)，取二者较小值。

否则无脑用 \(y\)。

D2. Zero-One (Hard Version)

现在只需要考虑 \(x < y\) 的情况，这个时候被零或多个 0 分隔的两个 1 使用多次 \(x\) 可能会比使用一次 \(y\) 更优。

考虑使用DP解决，默认先无脑用 \(y\) ，然后看借助 \(x\) 替换掉 \(y\) 能省多少钱。\(dp_{i}\) 表示前 \(i\) 个元素通过把 \(y\) 替换成 \(x\) 最多能省多少钱。

假设第\(i\) 个 1 在 \(p_i\) 上。对于第 \(i\) 个 \(1\) ，它可以通过 \(p_i - p_{i - 1}\) 次 \(x\) 把这两个 1 变成 0，相比一次 \(y\) 节省了 \(y - x(p_i - p_{i-1})\)，则有 \(dp_i = \max(dp_{i - 1}, dp_{i - 2} + y - x(p_i - p_{i-1}))\)，其中前者表示不替换，后者表示使用替换。

最终答案为 \(\frac{|p|}{2} y - dp_{|p|}\)。

AC代码

// Problem: D2. Zero-One (Hard Version)
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #821 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1733/problem/D2
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 3000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>

#define CPPIO std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);

#ifdef BACKLIGHT
#include "debug.h"
#else
#define logd(...) ;
#define ASSERT(x) ;
#define serialize() std::string("")
#endif

using i64 = int64_t;
using u64 = uint64_t;

void Initialize();
void SolveCase(int Case);

int main(int argc, char* argv[]) {
  CPPIO;
  int T = 1;
  std::cin >> T;
  for (int t = 1; t <= T; ++t) {
    SolveCase(t);
  }
  return 0;
}

void Initialize() {}

void SolveCase(int Case) {
  int n, x, y;
  std::cin >> n >> x >> y;

  std::string a, b;
  std::cin >> a;
  std::cin >> b;

  std::vector<int> p;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    if (a[i] != b[i]) {
      p.push_back(i);
    }
  }

  if (p.size() % 2 == 1) {
    std::cout << "-1\n";
    return;
  }

  if (x >= y) {
    if (p.size() == 2 && p[0] + 1 == p[1]) {
      std::cout << std::min(x, 2 * y) << "\n";
    } else {
      i64 ans = i64(1) * y * (p.size() / 2);
      std::cout << ans << "\n";
    }
    return;
  }

  // x < y
  {
    std::vector<i64> dp(p.size() + 1);
    dp[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= p.size(); ++i) {
      dp[i] = dp[i - 1];
      if (i >= 2) {
        i64 delta = y - i64(1) * (p[i - 1] - p[i - 2]) * x;
        dp[i] = std::max(dp[i], dp[i - 2] + delta);
      }
    }
    std::cout << i64(1) * y * (p.size() / 2) - dp[p.size()] << "\n";
  }
}

E. Conveyor

观察1: 把矩阵按 \(x+y\) 的值划分为 \(240\) 类，每一类都构成一条对角线。则每个时刻每一条对角线上都至多只有一个球，且这个球在下一秒会移动到下一条对角线上。

从\((0, 0)\) 移动到询问的点 \((x, y)\) 需要 \(x+y\) 秒，所以如果 \(t < x + y\) 则不可能有球移动到 \((x, y)\) 所在的对角线上，也就不可能有解。

\(t\) 时刻位于第 \(x+y\) 条对角线上的球，在 \(t - x - y\) 时刻从 \((0, 0)\) 出发。此前一共有 \(t - x - y\) 个球经过 \((0, 0)\)。在这个时刻之后从 \((0, 0)\) 出发的小球不会影响答案。

观察2：如果一共有 \(a\) 个小球经过 \((i, j)\)，那么其中有 \(\lceil \frac{a}{2} \rceil\) 个会经过 \((i, j + 1)\)， \(\lfloor \frac{a}{2} \rfloor\) 个会经过 \((i + 1, j)\)。

这样就可以求出每个位置，前 \(t - x - y\) 秒都有多少个球经过，记为 \(f(i, j)\)。

现在开始模拟 \(t - x - y\) 时刻从 \((0, 0)\) 出发的小球的运动轨迹。根据题意，如果 \(f(i, j)\) 是奇数，那么小球会移动到 \((i + 1, j)\)；如果 \(f(i, j)\) 为偶数，则小球会移动到 \((i, j + 1)\)。

由此再模拟 \(x + y\) 步，就能得到该小球最终的所在位置。判断是否和 \((x, y)\) 一致即可。

AC代码

// Problem: E. Conveyor
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #821 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1733/problem/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 3000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>

#define CPPIO std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);

#ifdef BACKLIGHT
#include "debug.h"
#else
#define logd(...) ;
#define ASSERT(x) ;
#define serialize() std::string("")
#endif

using i64 = int64_t;
using u64 = uint64_t;

void Initialize();
void SolveCase(int Case);

int main(int argc, char* argv[]) {
  CPPIO;
  int T = 1;
  std::cin >> T;
  for (int t = 1; t <= T; ++t) {
    SolveCase(t);
  }
  return 0;
}

void Initialize() {}

void SolveCase(int Case) {
  i64 t;
  int x, y;
  std::cin >> t >> x >> y;

  if (t < x + y) {
    std::cout << "NO\n";
    return;
  }

  std::vector<std::vector<i64>> f(120, std::vector<i64>(120, 0));
  f[0][0] = t - x - y;
  for (int i = 0; i < 120; ++i) {
    for (int j = 0; j < 120; ++j) {
      if (j + 1 < 120)
        f[i][j + 1] += (f[i][j] + 1) / 2;
      if (i + 1 < 120)
        f[i + 1][j] += f[i][j] / 2;
    }
  }

  int X = 0, Y = 0;
  for (int i = 0; i < x + y; ++i) {
    if (X == 120 || Y == 120) {
      std::cout << "NO\n";
      return;
    }
    if (f[X][Y] & 1)
      ++X;
    else
      ++Y;
  }

  std::cout << ((X == x && Y == y) ? "YES" : "NO") << "\n";
}