隐马尔可夫模型（HMM）是一种统计模型
先来看一个维基百科提供的例子：
https://en.wikipedia.org/wiki/Hidden_Markov_model
假设你有一个住得很远的朋友，他每天跟你打电话告诉你他那天做了什么。你的朋友仅仅对三种活动感兴趣：公园散步，购物以及清理房间。他选择做什么事情只凭天气。你对于他所住的地方的天气情况并不了解，但是你知道总的趋势。在他告诉你每天所做的事情基础上，你想要猜测他所在地的天气情况。
你知道这个地区的总的天气趋势,并且平时知道你朋友会做的事情.也就是说这个隐马尔可夫模型的参数是已知的
我们的观察集合是:
V={散步，购物，收拾}；
所有的可能的观察数：
M=3；
观察者只能看到朋友的行为序列，却不能看到朋友所在地区的天气。
我们的状态集合是：
Q={雨天，晴天}；
所有的可能的状态数：
N=2
初始状态分布为：
状态转移概率分布矩阵A：
观测状态概率矩阵B：
现在，重点是要了解并解决HMM 的三个问题：
问题1，已知整个模型， 朋友告诉我，连续三天，他下班后做的事情分别是：散步，购物，收拾。那么，根据模型，计算产生这些行为的概率是多少。
问题2，同样知晓这个模型，同样是这三件事， 朋友要我猜，这三天他下班后北京的天气是怎么样的。这三天怎么样的天气才最有可能让他做这样的事情。
问题3，最复杂的， 朋友只告诉我这三天他分别做了这三件事，而其他什么信息我都没有。他要我建立一个模型，晴雨转换概率，第一天天气情况的概率分布，根据天气情况他选择做某事的概率分布。
具体如何解决这三大问题。需要数学基础，概率基础。
问题1的解决1：遍历算法。
要计算产生这一系列行为的概率，那我们把每一种天气情况下产生这些行为都罗列出来，那每种情况的和就是这个概率。
有3天，每天有2种可能的天气情况，则总共有
种情况
举例其中一种情况 ：
P（下雨，下雨，下雨，散步，购物，收拾）= P（第一天下雨）P（第一天下雨去散步）P（第二天接着下雨）P（下雨去购物）P（第三天还下雨）P（下雨回家收拾）=0.6X0.1X0.7X0.4X0.7X0.5=0.00588
当然，这里面的 P（第二天接着下雨）当然是已知第一天下雨的情况下，第二天下雨的概率，为0.7.
将八种情况相加可得，三天的行为为{散步，购物，收拾}的可能性为0.033612. 看似简单易计算，但是一旦观察序列变长，计算量就会非常庞大
1）先计算 t=1时刻，发生‘’散步‘’一行为的概率：
1.1）如果下雨，则为
1.2）如果晴天：
2）t=2 时刻，发生“购物”的概率，当然，这个概率可以从 t=1 时刻计算而来：
2.1）如果t=2下雨，则
2.2）如果 t=2晴天，则
P（第一天散步，第二天购物，第二天晴天）=0.0486 （同理可得）
3）t=2 时刻：
3.1）如果 t=3，下雨，则
3.2）如果t=3，晴天，则
P（第一天散步，第二天购物，第三天收拾，第三天晴天）= 0.004572
那么 P（第一天散步，第二天购物，第三天收拾），这一概率则是第三天，下雨和晴天两种情况的概率和：
0.02904+0.004572=0.033612
以上例子可以看出，向前算法计算了每个时间点时，每个状态的发生观测序列的概率，看似繁杂，但在 T 变大时，复杂度会大大降低。
问题1的解决3：向后算法
，观测序列O，定义t时刻状态为qi 的条件下，从t+1到T时刻的部分部分观察序列为Oi +1, Oi+2, ... , OT, 记作：
可以用递归的方式求得后向概率
及观测概率
（1）初始化后向概率：
（2）递推：
其中第一项则是转移概率，第二天下雨转到第三天下雨的概率为0.7；第二项则是观测概率，第三天下雨的状况下，在家收拾的概率为0.5；第三项就是我们定义的向后变量
同理，可得
（3）终止：
三种算法的答案是一致的