问题介绍
法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
数学解法
有n个盘子，和柱子x、y、z
设把n个盘子从x移动到z所需步数N=f(n)
那么，把n-1个盘子从x移动到y所需的步数为f(n-1)，把n-1个盘子从y移动到z所需步数也为f(n-1)
把n个盘子从x移动到z可以分解为：
1）把n-1个盘子从x移动到y
2）把1个盘子从x移动到z
3）把n-1个盘子从y移动到z
那么f(n)=f(n-1)+1+f(n-1)=2f(n-1)+1
由f(n)=2f(n-1)+1
得f(n)+1=2f(n-1)+2=2(f(n-1)+1)
即
f(n)+1=2(f(n-1)+1)
同理
f(n-1)+1=2(f(n-2)+1)
f(n-2)+1=2(f(n-3)+1)
...
f(3)+1=2(f(2)+1)
f(2)+1=2(f(1)+1)
将上面所有式子左右两边分别相乘得
f(n)+1=2^(n-1)*2(f(1)+1)=2^n*(f(1)+1)=2^(n+1)
f(n)=2^(n+1)-1
即把n个盘子从x移动到z所需步数N=2^(n+1)-1
如果需要的是结果，那么通过数学分析就可以得到，如果需要知道执行步骤，那么就需要代码递归了
package com.zby;
/**
* @author zby
* @title Hanoi
* @date 2019年6月13日
* @description 汉诺塔
*/
public class Hanoi {
private static int counter = 0;
public static void main(String[] args) {
remove(4, "X", "Y", "Z");
System.out.printf("一共移动%d步", counter);
}
public static void remove(int floor, String source, String mid, String target) {
if (floor == 1) {
System.out.println("第" + ++counter + "次从" + source + "移动到" + target);
return;
}
remove(floor - 1, source, target, mid);
remove(1, source, mid, target);
remove(floor - 1, mid, source, target);
}
}
结果
第1次从X移动到Y 第2次从X移动到Z 第3次从Y移动到Z 第4次从X移动到Y 第5次从Z移动到X 第6次从Z移动到Y 第7次从X移动到Y 第8次从X移动到Z 第9次从Y移动到Z 第10次从Y移动到X 第11次从Z移动到X 第12次从Y移动到Z 第13次从X移动到Y 第14次从X移动到Z 第15次从Y移动到Z 一共移动15步