试题 算法训练 王、后传说 -> n皇后经典问题 dfs

问题描述

　　地球人都知道，在国际象棋中，后如同太阳，光芒四射，威风八面，它能控制横、坚、斜线位置。
　　看过清宫戏的中国人都知道，后宫乃步步惊心的险恶之地。各皇后都有自己的势力范围，但也总能找到相安无事的办法。
　　所有中国人都知道，皇权神圣，伴君如伴虎，触龙颜者死......
　　现在有一个n*n的皇宫，国王占据他所在位置及周围的共9个格子，这些格子皇后不能使用（如果国王在王宫的边上，占用的格子可能不到9个）。当然，皇后也不会攻击国王。
　　现在知道了国王的位置（x,y）（国王位于第x行第y列，x,y的起始行和列为1），请问，有多少种方案放置n个皇后，使她们不能互相攻击。

输入格式

　　一行，三个整数，皇宫的规模及表示国王的位置

输出格式

　　一个整数，表示放置n个皇后的方案数

样例输入

　　8 2 2

样例输出

　　10

数据规模和约定

　　n<=12

思路：这是一道非常经典的n皇后问题 回想起三个月前被这道题支配的恐惧...

　　　当时理解的根本不算透彻，这次要争取把之前给留下的坑补上

　　　法1：

　　　　　因为已知同一行或者同一列 只能放一个皇后，我们可以从行开始看 枚举每一行开始搜

　　　　　判断这一行中的格子的列、对角线、副对角线是否可以放，类似全排列问题 复杂度O(n!)

　　　　　关于对角线： 这里我们dfs时u为行，对应坐标系中的x

　　　　　　　　　　　 在dfs中枚举每一列i，这里的i对应坐标系中的y

　　　　　　　　　　　 正对角线（dg），在数学中可以等价于y=x+b，即 b=y-x;  （这里为什么把截距b提出来，因为正是b来表示y与x的关系，即表示对角线关系）

　　　　　　　　　　　 副对角线（udg），同理可以化为y=-x+b，即b=y+x；

　　　　　　　　　　　 注意，由于正对角线由y-x表示的b 对于n行n列的图来说，会有负数 这里我们将b=y-x+n即可

　　　　　画个图方便理解一下

　　　　　　

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 25;

int n, ans;
bool g[N][N];
int col[N], dg[N], udg[N]; // 分别表示每列、正对角线、副对角线

void init(int a, int b) // 预处理国王对应的9个坐标
{
    for (int i = -1; i <= 1; i ++ )
        for (int j = -1; j <= 1; j ++ )
            g[a + i][b + j] = true;
}

void dfs(int u) // 搜索到第u行
{
    if (u == n + 1)
    {
        ans ++ ;
        return ;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) // 枚举每一列是否选取
    {
        if (!col[i] && !dg[i - u + n] && !udg[u + i] && !g[u][i]) // 如果u行i列可以放的话
        {
            g[u][i] = col[i] = dg[i - u + n] = udg[u + i] = true;
            dfs(u + 1); // 搜下一行
            g[u][i] = col[i] = dg[i - u + n] = udg[u + i] = false; // 恢复现场
        }
    }
}

int main()
{
    int a, b;
    cin >> n >> a >> b;
    init(a, b);
    dfs(1); // 从第一行开始搜索
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

　　法2：原始的搜索方法 选或者不选

　　　　  这种方法是将棋盘每个格子遍历一遍 分别计算选和不选

　　　　  但这种方法复杂度为O(2的n^2) 样例 大概n=10以上就跑不动了 所以了解一下 明白原始的思路即可

　　　　　　

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 25;

int n, ans;
bool g[N][N];
int row[N], col[N], dg[N], udg[N]; // 分别表示每行、每列、正对角线、副对角线

void init(int a, int b) // 预处理国王对应的9个坐标
{
    for (int i = -1; i <= 1; i ++ )
        for (int j = -1; j <= 1; j ++ )
            g[a + i][b + j] = true;
}

void dfs(int x, int y, int s)
{
    if (y == n + 1) y = 1, x ++ ; 
    
    if (x == n + 1)
    {
        if (s == n)
            ans ++ ;
        return ;
    }
    
    // 不放皇后
    dfs(x, y + 1, s);
    
    // 放皇后
    if (!row[x] && !col[y] && !dg[y - x + n] && !udg[x + y] && !g[x][y])
    {
        row[x] = col[y] = dg[y - x + n] = udg[x + y] = g[x][y] = true;
        dfs(x, y + 1, s + 1);
        row[x] = col[y] = dg[y - x + n] = udg[x + y] = g[x][y] = false;
    }
}

int main()
{
    int a, b;
    cin >> n >> a >> b;
    init(a, b);
    dfs(1, 1, 0); // 从第一行第一列开始搜索
    cout << ans << endl;
    return 0;
}