AtCoder ABC 129E Sum Equals Xor

题目链接：https://atcoder.jp/contests/abc129/tasks/abc129_e

题目大意

　　给定一个二进制表示的数 L，问有多少对自然数 (a, b) 满足 $a + b leq L 且 a + b = a oplus b $。

分析

　　由于异或是无进位相加，所以 $a + b = a oplus b $ 等价于 a 和 b 的每一位对应二进制位都不会是两个 1。

　　设 L 有 n 个 1。按 L 中的顺序编号为 n~1。

　　设 L(i) 为编号为 i 的 1 到 L 末尾所形成的子串。

　　设 Ans(i) 为 L(i) 包含的自然数对数。

　　a + b 有以下两种情况：

1. a + b 的最高位和 L(i) 的最高位一样都是 1：那么 a 和 b 在 i 号 1 和 i + 1 号 1 之间的对应位置上必然全为 0，因此答案取决于 Ans(i - 1)，而由于 a 和 b 可以互换，因此这部分贡献为 2 * Ans(i - 1)，为方便计算可设 Ans(0) = 1。
2. a + b 的最高位是 0 (相对于 L(i) 的最高位)：那么 a 和 b 剩下的二进制位就没有限制了，每个 a, b 的二进制位都可以有 (0, 0), (0, 1), (1, 0) 三种情况，因此，总贡献为 $3^{L(i).size() - 1}$。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define INIT() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define Rep(i,n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
#define For(i,s,t) for (int i = (s); i <= (t); ++i)
#define rFor(i,t,s) for (int i = (t); i >= (s); --i)
#define ForLL(i, s, t) for (LL i = LL(s); i <= LL(t); ++i)
#define rForLL(i, t, s) for (LL i = LL(t); i >= LL(s); --i)
#define foreach(i,c) for (__typeof(c.begin()) i = c.begin(); i != c.end(); ++i)
#define rforeach(i,c) for (__typeof(c.rbegin()) i = c.rbegin(); i != c.rend(); ++i)
 
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << "  "
#define prln(x) cout << #x << " = " << x << endl
 
#define LOWBIT(x) ((x)&(-x))
 
#define ALL(x) x.begin(),x.end()
#define INS(x) inserter(x,x.begin())
#define UNIQUE(x) x.erase(unique(x.begin(), x.end()), x.end())
#define REMOVE(x, c) x.erase(remove(x.begin(), x.end(), c), x.end()); // 删去 x 中所有 c 
#define TOLOWER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::tolower);
#define TOUPPER(x) transform(x.begin(), x.end(), x.begin(),::toupper);
 
#define ms0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define msI(a) memset(a,inf,sizeof(a))
#define msM(a) memset(a,-1,sizeof(a))

#define MP make_pair
#define PB push_back
#define ft first
#define sd second
 
template<typename T1, typename T2>
istream &operator>>(istream &in, pair<T1, T2> &p) {
    in >> p.first >> p.second;
    return in;
}
 
template<typename T>
istream &operator>>(istream &in, vector<T> &v) {
    for (auto &x: v)
        in >> x;
    return in;
}
 
template<typename T1, typename T2>
ostream &operator<<(ostream &out, const std::pair<T1, T2> &p) {
    out << "[" << p.first << ", " << p.second << "]" << "
";
    return out;
}

inline int gc(){
    static const int BUF = 1e7;
    static char buf[BUF], *bg = buf + BUF, *ed = bg;
    
    if(bg == ed) fread(bg = buf, 1, BUF, stdin);
    return *bg++;
} 

inline int ri(){
    int x = 0, f = 1, c = gc();
    for(; c<48||c>57; f = c=='-'?-1:f, c=gc());
    for(; c>47&&c<58; x = x*10 + c - 48, c=gc());
    return x*f;
}

template<class T>
inline string toString(T x) {
    ostringstream sout;
    sout << x;
    return sout.str();
}

inline int toInt(string s) {
    int v;
    istringstream sin(s);
    sin >> v;
    return v;
}

//min <= aim <= max
template<typename T>
inline bool BETWEEN(const T aim, const T min, const T max) {
    return min <= aim && aim <= max;
}
 
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef pair< double, double > PDD;
typedef pair< int, int > PII;
typedef pair< int, PII > PIPII;
typedef pair< string, int > PSI;
typedef pair< int, PSI > PIPSI;
typedef set< int > SI;
typedef set< PII > SPII;
typedef vector< int > VI;
typedef vector< double > VD;
typedef vector< VI > VVI;
typedef vector< SI > VSI;
typedef vector< PII > VPII;
typedef map< int, int > MII;
typedef map< int, string > MIS;
typedef map< int, PII > MIPII;
typedef map< PII, int > MPIII;
typedef map< string, int > MSI;
typedef map< string, string > MSS;
typedef map< PII, string > MPIIS;
typedef map< PII, PII > MPIIPII;
typedef multimap< int, int > MMII;
typedef multimap< string, int > MMSI;
//typedef unordered_map< int, int > uMII;
typedef pair< LL, LL > PLL;
typedef vector< LL > VL;
typedef vector< VL > VVL;
typedef priority_queue< int > PQIMax;
typedef priority_queue< int, VI, greater< int > > PQIMin;
const double EPS = 1e-8;
const LL inf = 0x7fffffff;
const LL infLL = 0x7fffffffffffffffLL;
const LL mod = 1e9 + 7;
const int maxN = 1e5 + 7;
const LL ONE = 1;
const LL evenBits = 0xaaaaaaaaaaaaaaaa;
const LL oddBits = 0x5555555555555555;

string L;
LL ans = 1;

void mul_mod(LL &x, LL y) {
    x = (x * y) % mod;
}

void add_mod(LL &x, LL y) {
    x = (x + y) % mod;
}

LL pow_mod(LL x, LL y) {
    LL ret = 1;
    while(y) {
        if(y & 1) mul_mod(ret, x);
        mul_mod(x, x);
        y >>= 1;
    }
    return ret;
} 

int main(){
    //freopen("MyOutput.txt","w",stdout);
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //INIT();
    cin >> L;
    rFor(i, L.size() - 1, 0) {
        if(L[i] == '1') {
            mul_mod(ans, 2);
            add_mod(ans, pow_mod(3, L.size() - i - 1));
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}