数据结构第一节 递归

　　分支转向是算法的灵魂；函数和过程及其之间的相互调用，是在经过抽象和封装之后，实现分支转向的一种重要机制；而递归这是函数和过程调用的一种特殊形式，即允许函数进行自我调用。

　　递归的价值在于，许多应用问题都可简洁而准确地描述为递归形式。

　　递归也是一种基本而典型的算法设计模式。这一模式可以对实际问题中反复出现的结构和形式做高度概括，并从本质层面加以描述与刻画，进而导出高效的算法。从程序结构的角度，递归模式能够统筹纷繁多变的具体情况，避免复杂的分支以及嵌套的循环，从而更为简明的描述和实现算法，减少代码量，提高算法的可读性，保证算法的整体效率。

线性递归

int sum(int A[], int n) { //数组求和算法（线性递归版） 
    if(n < 1) //平凡情况，递归基
        return 0; //直接（非递归式）计算
    else
        return sum(A, n -1) + A[n - 1];//递归：前n-1项和，再累积 第 n -1 项 
}

　　减而治之

　　　　线性递归的模式，往往对应于所谓减而治之（decrease-and-conquer）的算法策略：递归没深入一层，待求解问题的规模都缩减一个常数，直至最终蜕化为平凡的小（简单）问题。

　　　　按照减而治之策略，此处随着递归的深入，调用参数将单调地线性递减。因此无论最初输入的n有多大，递归的总次数都是有限的，故算法的执行迟早会终止，即满足有穷性。当抵达递归基时，算法将执行非递归计算。

void reverse( int* A, int lo, int hi) { //数组倒置（多递归基递归版） 
    if(lo < hi){
        swap(A[lo], A[hi]); //交换A[lo]和A[hi] 
        reverse(A, lo + 1, hi -1); //递归倒置A(lo, hi) 
    }// else 隐含了两种递归基 
}

递归消除

void reverse( int* A, int lo, int hi){ //数组倒置，直接改造得到的非递归版 
    while( lo < hi){
        swap(A[lo], A[hi]);//交换A[lo]和A[hi] 
        lo ++; hi --;//收索待倒置区间 
    }
} 

二分递归

　　分而治之：将大的问题分解为若干规模更小的问题，再通过递归机制分别求解。这种分解持续进行，直到子问题规模缩减至平凡情况。这也就是所谓的分而治之（divde-and-conquer）。

int sum( int A[], int lo, int hi){//数组求和方法（二分递归版） 
    if(lo == li)//如遇到递归基（区间长度已将为1），则 
        return A[lo];//直接返回该元素
    else{
        int min = (lo + hi) >> 1; //以居中单元为界将原区间一分为2
        return sum(A, lo, mi) + sum(A, mi + 1, hi); //递归对 各子数组求和，然后合计。 
    } 
}