容斥原理在错排问题中的应用

    错排问题是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D_n。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

    高中生们都很熟悉错排，因为错排问题在高中数学绝对算是大名鼎鼎，很多排列组合的问题需要化归为错排才能解决。我们应用的一般都是错排的递推公式，附加推导如下：

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    把n个元素的错排数记为D_n，显然D₁=0，D₂=1。当n≥3时，设不错排时i位置的元素为a[i]，不妨设最后一个数a[n]排在了第k位，其中k≠n，也就是1≤k≤n-1。那么我们现在考虑第n位的情况。

• 当a[k]排在第n位时，a[n]与a[k]的位置均已确定，除了a[n]和a[k]以外还有n-2个数，其错排数为D_n-2。
• 当a[k]不排在第n位时，只有a[n]的位置确定（占据了k位置），那么这时的包括a[k]在内的剩下n-1个数的每一种错排，都等价于只有n-1个数时的错排(因为已经假设a[k]不能排在第n位，所以这时的第n位可看作a[k]的“本位”，即是错排时a[k]不能占据的“第k位”）。其错排数为D_n-1。

    所以当n排在第k位时共有D_n-2+D_n-1种错排方法，又k位置有从1到n-1共n-1种取法，我们可以得到：
    D_n=(n-1)(D_n-1+D_n-2)

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    但是错排数列还有一个通项公式：

    

    这个公式当然可以从递推公式中得到，但比较复杂，不是讨论重点。其实，通过集合角度和大名鼎鼎的容斥原理可以直接推出该公式，使人不得不拜倒于伟大容斥原理侧漏的霸气之下！所以下面将简单介绍一下容斥原理。

【引题】

    一个集合A中的元素个数若记为|A|，请写出|A∪B∪C|的计算公式。

    这道题很简单，画个韦恩图就一目了然：

所以，|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩ B|-|B ∩ C|-|A ∩ C|+|A ∩ B ∩ C|

下面这些数量关系可轻易写得：

定理：设B(n,k)是［1,n］所有的含k个元素的子集组成的集合,

则下面公式写出了|A₁∪A₂∪A₃∪..∪A_n|的值。

这个公式看着不太顺眼，我认为如果把B(n,k)的概念去掉，公式也可以这样写：

这个公式的解释：设A₁,A₂,…,A_n是有限集，有

可见，运用容斥原理，可以化简各种连并或连交的式子，这在下文中有重要的应用。

这时，让我们再来看错排问题：

错位排列：设 A_i为数 i 在第i位上时的全体排列，i=1，2，…，n。因数字i不能动，所以就是n-1个数全排列。因而有：

易得：

每个元素都不在原来位置的排列数为：

D_n=

这时有点犯难，D_n表达需要求，但是容斥原理中给出的却是。

如果我们用容斥原理求，则需要进一步转化。

转化时，我们需要介绍个定理：

DeMorga定理：

    在全集U中，记集合A的补集为，则

DeMogan定理的推广：设A₁,A₂,...,A_n是U的子集，则

这样，我们就得到了有用的转化公式。

因此

把容斥原理的公式套进去，就是：

所以在错排公式推导的最后一步中，易得

~~~~这就是D_n的通项公式！~~~~

必要的解释：

1. |U|=n!，即全排列，充当全集；
2. C(n,k)(n-k)!即是的值。

如：求三个数的错排方案数
D(3)=|U|-（|A1|+|A2|+|A3|）+（|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|）-|A1∩A2∩A3|
=3!-C(3,1)×2!+C(3,2)×1!-C(3,3)×0!
=2

容斥原理在此得到了完美运用。

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