4.1 模拟赛

T1 luogu 5249

题目大意：

有$n$个人按顺序坐成一圈玩游戏，从$1$号开始每次抛硬币，如果是正面就出局，无论结果如何都把硬币给下一个没出局的人

这个硬币概率是正面的概率为$p$由一个分数$frac{a}{b}$的形式给出$a,b$，问$1-n$号人留到最后的概率在$mod 998244353$下的数

思路：

设$f_{i,j}$表示总共还剩$i$个人的时候，若当前抛硬币的人编号为$1$，编号为$j$的人作为最后一个人的概率

则容易推出方程$f_{i,j}=p*f_{i-1,j-1}+q*f_{i,j-1}$，由于是环形所以需要消元

因为对每个$i$，需要所有$i-1$都已知才可以，这样我们一行一行使用高斯消元复杂度为$n^4$

考虑手动推系数，把一行内所有的$f_{i,j}$全部用$f_{i,1}$代替

推出$f_{i,1}$的系数和其余常数项，因为每一行的和都是$1$，算出$f_{i,1}$之后再带回去即可，复杂度$n^2$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#define ll long long
#define db double
#define inf 2139062143
#define MOD 998244353
#define MAXN 5010
#define rep(i,s,t) for(register int i=(s),i##__end=(t);i<=i##__end;++i)
#define dwn(i,s,t) for(register int i=(s),i##__end=(t);i>=i##__end;--i)
#define ren for(register int i=fst[x];i;i=nxt[i])
#define mem(x,i) memset(x,i,sizeof(x))
#define pb(i,x) vec[i].push_back(x)
#define pls(a,b) (a+b)%MOD
#define mns(a,b) (a-b+MOD)%MOD
#define mul(a,b) (1LL*(a)*(b))%MOD
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,f[MAXN][MAXN],p,q,sum,k,tmp,s;
int q_pow(int bas,int t,int res=1)
{
    for(;t;t>>=1,bas=mul(bas,bas))
        if(t&1) res=mul(res,bas);return res;
}
#define inv(x) q_pow(x,MOD-2)
int main()
{
    freopen("A.in","r",stdin);freopen("A.out","w",stdout);
    int a=read(),b=read();n=read();p=mul(inv(b),a),q=mns(1,p);
    f[1][1]=1;rep(i,2,n)
    {
        s=sum=0,k=tmp=1;rep(j,2,i) tmp=mul(tmp,q),k=pls(k,tmp),
            s=pls(mul(s,q),mul(p,f[i-1][j-1])),sum=pls(sum,s);
        f[i][1]=mul(mns(1,sum),inv(k));rep(j,2,i)
            f[i][j]=pls(mul(p,f[i-1][j-1]),mul(q,f[i][j-1]));
    }
    rep(i,1,n) printf("%d ",f[n][i]);
}

T2 

题目大意：

有一个长度为$n$的字符串，字符集为$n$

$Q$组询问，形如$l,r$，询问删除一个左端点$leq l$,右端点$geq r$的子串后，剩下的部分可以形成的不同串的数量

思路：

有一个可以感性理解的结论为 $ans=$所有子串数量减去两边每种字符的数量乘积之和

然后使用莫队，维护左右两边的数量即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#define ll long long
#define db double
#define inf 2139062143
#define MAXN 100100
#define rep(i,s,t) for(register int i=(s),i##__end=(t);i<=i##__end;++i)
#define dwn(i,s,t) for(register int i=(s),i##__end=(t);i>=i##__end;--i)
#define ren for(register int i=fst[x];i;i=nxt[i])
#define pb(i,x) tot[i].push_back(x)
#define pls(a,b) (a+b)%MOD
#define mns(a,b) (a-b+MOD)%MOD
#define mul(a,b) (1LL*(a)*(b))%MOD
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,m,g[MAXN],bl[MAXN],lnum[MAXN],rnum[MAXN],sz;
ll ans[MAXN],res;struct ask{int l,r,t,id;}q[MAXN];
bool cmp(ask a,ask b){return bl[a.l]<bl[b.l]||(bl[a.l]==bl[b.l]&&a.r<b.r);}
int main()
{
    freopen("B.in","r",stdin);freopen("B.out","w",stdout);
    n=read(),sz=sqrt(n);rep(i,1,n) g[i]=read(),bl[i]=(i-1)/sz;g[n+1]=n+1;
    m=read();rep(i,1,m) q[i].l=read()-1,q[i].r=read()+1,q[i].id=i;
    sort(q+1,q+m+1,cmp);int l=0,r=n+1;rep(i,1,m)
    {
        while(l<q[i].l) {l++;res+=rnum[g[l]],lnum[g[l]]++;}
        while(l>q[i].l) {res-=rnum[g[l]],lnum[g[l]]--;l--;}
        while(r>q[i].r) {r--;res+=lnum[g[r]],rnum[g[r]]++;}
        while(r<q[i].r) {res-=lnum[g[r]],rnum[g[r]]--;r++;}
        ans[q[i].id]=1LL*(q[i].l+1)*(n-q[i].r+2)-res;
    }rep(i,1,m) printf("%lld
",ans[i]);
}

有结论之后的B题是bzoj 5016这道题的弱化版

题意为：给定了两个区间$[l1,r1]$和$[l2,r2]$，求$sumlimits_{i=0}^{infty} get(l1,r1,i) imes get(l2,r2,i)$，其中$get(l,r,x)$表示$[l,r]$中$x$的数量

思路：还是莫队，拆成四个区间容斥一下即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#define ll long long
#define db double
#define inf 2139062143
#define MAXN 200100
#define rep(i,s,t) for(register int i=(s),i##__end=(t);i<=i##__end;++i)
#define dwn(i,s,t) for(register int i=(s),i##__end=(t);i>=i##__end;--i)
#define ren for(register int i=fst[x];i;i=nxt[i])
#define pb(i,x) tot[i].push_back(x)
#define pls(a,b) (a+b)%MOD
#define mns(a,b) (a-b+MOD)%MOD
#define mul(a,b) (1LL*(a)*(b))%MOD
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,m,g[MAXN],bl[MAXN],lnum[MAXN],rnum[MAXN],sz;
ll ans[MAXN],res;struct ask{int l,r,t,id;}q[MAXN];
bool cmp(ask a,ask b){return bl[a.l]<bl[b.l]||(bl[a.l]==bl[b.l]&&a.r<b.r);}
int main()
{
    n=read(),sz=sqrt(n);rep(i,1,n) g[i]=read(),bl[i]=(i-1)/sz;g[n+1]=n+1;
    m=read();int l,r,x,y;rep(i,1,m)
    {
        l=read(),r=read(),x=read(),y=read();
        q[(i-1<<2)|1]=(ask){r,x,1,i};
        q[(i-1<<2)|2]=(ask){l-1,x,-1,i};
        q[(i-1<<2)|3]=(ask){r,y+1,-1,i};
        q[i<<2]=(ask){l-1,y+1,1,i};
    }
    m<<=2;sort(q+1,q+m+1,cmp);l=0,r=n+1;rep(i,1,m)
    {
        while(l<q[i].l) {l++;res+=rnum[g[l]],lnum[g[l]]++;}
        while(l>q[i].l) {res-=rnum[g[l]],lnum[g[l]]--;l--;}
        while(r>q[i].r) {r--;res+=lnum[g[r]],rnum[g[r]]++;}
        while(r<q[i].r) {res-=lnum[g[r]],rnum[g[r]]--;r++;}
        ans[q[i].id]+=res*q[i].t;
    }rep(i,1,m>>2) printf("%lld
",ans[i]);
}

T3

题目大意：

有$n$条直线，求这些直线中所有两两交点中距离一定点$(x_0,y_0)$前$m$近的距离和

思路：

可以二分一个圆，判断圆内是否有$m$个交点，先求出直线和圆的交点

则若在圆上存在$ABAB$的形式则有一个交点，其中$A，B$表示直线$a，b$与圆的交点

可以使用树状数组类似数点来计算

二分出半径后，按照靠左的交点排序后，遍历圆上的点，找出$l-r$这两个交点之间的其他直线的交点

这样找出的两个直线一定是满足条件的，依次加入答案即可（为了方便使用set找着个区间

（因为标程的精度锅了，所以用$cf$的形式读入

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#define ll long long
#define db double
#define inf 2139062143
#define MAXN 100100
#define rep(i,s,t) for(register int i=(s),i##__end=(t);i<=i##__end;++i)
#define dwn(i,s,t) for(register int i=(s),i##__end=(t);i>=i##__end;--i)
#define ren for(register int i=fst[x];i;i=nxt[i])
#define pb(i,x) vec[i].push_back(x)
#define pls(a,b) (a+b)%MOD
#define mns(a,b) (a-b+MOD[d])%MOD
#define mul(a,b) (1LL*(a)*(b))%MOD
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const db pi=acos(-1),eps=1e-6;
int n,m,K,c[MAXN];db tx,ty,ans,k[MAXN],b[MAXN],a[MAXN],y[MAXN];
struct Data{db x,y;int id;} g[MAXN];
bool operator < (Data a,Data b) {return a.x<b.x;}
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
void mdf(int x,int val) {for(;x<=n;x+=x&-x) c[x]+=val;}
int query(int x,int res=0) {for(;x;x-=x&-x) res+=c[x];return res;}
int cheq(int res=0)
{
    int l,r;rep(i,1,m)
    {
        l=lower_bound(y+1,y+m+1,g[i].x)-y-1;
        r=lower_bound(y+1,y+m+1,g[i].y)-y;
        res+=query(r)-query(l),mdf(r,1);
    }return res>=K;
}
db get(db k1,db k2,db b1,db b2) {return (b2-b1)/(k1-k2);}
int main()
{
    n=read(),tx=0.001*read(),ty=0.001*read();K=read();rep(i,1,n)
    {
        k[i]=0.001*read(),b[i]=0.001*read(),a[i]=atan(k[i]);
        if(tx*k[i]+b[i]>ty) a[i]+=pi/2;else a[i]-=pi/2;
    }
    db l=0,r=1e11,mid,d;for(;mid=(l+r)/2,l<r-eps;)
    {
        m=0;memset(c,0,sizeof(c));rep(i,1,n)
        {
            d=fabs(k[i]*tx-ty+b[i])/sqrt(k[i]*k[i]+1);if(d>mid) continue;
            d=acos(d/mid);g[++m]=(Data){a[i]-d,a[i]+d,0};
            if(g[m].x<=-pi) g[m].x+=2*pi;if(g[m].y>pi) g[m].y-=2*pi;
            if(g[m].x>g[m].y) swap(g[m].x,g[m].y);y[m]=g[m].y;
        }
        sort(y+1,y+m+1);sort(g+1,g+m+1);if(cheq()) r=mid;else l=mid;
    }mid=r;
    set <pair<db,int> > s;set <pair<db,int> > ::iterator it;
    m=0;rep(i,1,n)
    {
        d=fabs(k[i]*tx-ty+b[i])/sqrt(k[i]*k[i]+1);if(d>mid) continue;
        d=acos(d/mid);g[++m]=(Data){a[i]-d,a[i]+d,i};
        if(g[m].x<=-pi) g[m].x+=2*pi;if(g[m].y>pi) g[m].y-=2*pi;
        if(g[m].x>g[m].y) swap(g[m].x,g[m].y);
    }sort(g+1,g+m+1);int tot=0;
    rep(i,1,m) 
    {
        it=s.lower_bound(mp(g[i].x,0));
        for(;it!=s.end()&&it->fi<=g[i].y;++it,++tot)
        {
            if(tot==K) break;l=get(k[g[i].id],k[it->se],b[g[i].id],b[it->se]);
            r=k[g[i].id]*l+b[g[i].id];ans+=sqrt((tx-l)*(tx-l)+(ty-r)*(ty-r));
        }
        s.insert(mp(g[i].y,g[i].id));if(tot==K) break;
    }
    printf("%.10lf
",ans);
}