题解 P3857 [TJOI2008]彩灯

P3857 [TJOI2008]彩灯

前置知识：『模板』线性基 ，线性基初步

线性基求张成出的子空间元素个数。

首先细读题目，我们发现对于每一盏被控制的灯，按下一次开关的操作相当于对其状态异或 (1)。我们可以考虑将问题转化成有 (m) 个非负整数 ，我们选取其中几个异或起来，求它们的方案数。异或是一种二进制不进位加法运算，自然而然的可以想到线性基。

现在假设我们已经求出了线性基向量组 (S={oldsymbol{x_1},oldsymbol{x_2},oldsymbol{x_3},dots oldsymbol{x_k}})，所在的线性空间为 (V)。

本题我们要求：(|T|,T={a_1oldsymbol{x_1}+a_2oldsymbol{x_2}+dots a_koldsymbol{x_k}|a_iin[0,1]land a_iin N })。

先说结论：答案是所有 (a_i) 取值种数的乘积。即 (2^k)。

我们定义向量的基坐标：若 (oldsymbol{alpha}in V) ，(oldsymbol{x_1},oldsymbol{x_2},oldsymbol{x_3},dots oldsymbol{x_k}) 是线性空间 (V) 的一个基且 (oldsymbol{alpha}=a_1oldsymbol{x_1}+a_2oldsymbol{x_2}+dots a_koldsymbol{x_k},a_iin R) ，那么我们就称 ((a_1,a_2,a_3,dots,a_k)) 为这个向量在这个基下的坐标。

立刻能猜到，线性基张成的子空间元素数与坐标的一组 ((a_1,a_2,dots,a_k)) 的取值一一对应。

对一一对应性进行验证：

假设一个向量 (oldsymbol{alpha}in V) 在线性基 ({oldsymbol{x_1},oldsymbol{x_2},oldsymbol{x_3},dots oldsymbol{x_k}}) 下有两个不同坐标 ((a_1,a_2,dots,a_k)) ，((b_1,b_2,b_3,dots,b_k))。

那么

[oldsymbol{alpha}=a_1oldsymbol{x_1}+a_2oldsymbol{x_2}+dots a_koldsymbol{x_k}=b_1oldsymbol{x_1}+b_2oldsymbol{x_2}+dots b_koldsymbol{x_k} ]

把两种线性表示相减：

[(a_1-b_1)oldsymbol{x_1}+(a_2-b_2)oldsymbol{x_2}+dots (a_k-b_k)oldsymbol{x_k}=0 ]

进行分类讨论：

• (forall iin [1,k], a_i-b_i=0)

  可得 (a_1=b_1,a_2=b_2dots a_k=b_k)

  与题设“两个不同坐标”矛盾。

• (exists iin [1,k], a_i-b_i e 0)。

  不妨设 (a_i-b_i e 0) ，移项：

  [(a_1-b_1)oldsymbol{x_1}+(a_2-b_2)oldsymbol{x_2}+dots (a_{i-1}-b_{i-1})oldsymbol{x_{i-1}}+(a_{i+1}-b_{i+1})oldsymbol{x_{i+1}} dots (a_k-b_k)oldsymbol{x_k}=(a_i-b_i)oldsymbol{x_i} ]

  与 “({oldsymbol{x_1},oldsymbol{x_2},oldsymbol{x_3},dots oldsymbol{x_k}}) 是线性基”矛盾。

故基坐标与子空间中的向量一一对应。

由计数原理，线性基可以线性表示的向量个数为所有 (a_i) 取值个数的乘积，本题即为 (2^k)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1e3+10;

int n,m;
ll arr[N];

ll fpow(int k,int mod)
{
	ll a=2,res=1;
	while(k)
	{
		if(k&1) res=res*a%mod;
		a=a*a; k>>=1;
	}
	return (res%mod+mod)%mod;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		char s[N];
		scanf("%s",s+1);
		for(int j=m;j>=1;j--)
		{
			arr[i]<<=1;
			if(s[j]=='O') arr[i]+=1;
		}
	}
	int k=0;
	for(int i=63;i>=0;i--)
	{
		for(int j=k;j<n;j++)
			if(arr[j]>>i&1)
			{
				swap(arr[j],arr[k]);
				break;
			}
		if(!(arr[k]>>i&1)) continue;
		for(int j=0;j<n;j++)
			if(j!=k&&(arr[j]>>i&1))
				arr[j]^=arr[k];
		k++;
		if(k==n) break;
	}
	printf("%lld",fpow(k,2008));
	return 0;
}