B. 夜空

仰望夜空，你就知道，我来自哪里——gfdfy

B. 夜空

 题目链接（题面依旧有问题）：http://10.1.6.216/contest/18/problem/108

题目背景

dfy

是一个喜欢仰望星空的帅气少年，一天晚上，他一如既往地躺在草地上看星星。看着它们有亮的有暗的，不由得突发奇想，想要考考你。

题目描述

dfy

对每一颗星星赋予了一个亮度wi，并且他将连在一起会更加明亮的星星连在了一起。由于dfy审美独特，他将所有的星星连成了一棵树。在观赏星星的同时，dfy

想要时刻知道哪个点在一定范围内是最亮的。

简而言之，题意是这样的：给定n

个点，并给出每个点的点权。同时给出n−1条无向边，保证将所有的点连成一棵树。同时有m

次询问，每次询问输入两个点的编号。需要你对于每一次询问，输出两点之间最短路径上的最大点权。

输入格式

第一行输入n,m

，含义如题目描述。

第二行有n

个数，代表n

个点的点权。

后面n−1

行，有n−1次输入，每次输入x,y，意为从x到y

连有一条无向边。

紧接着m

行，有m次输入，每次输入x,y，即m

次询问。

输出格式

每一行对应一次询问输出。

输入输出样例

样例输入1

5 3
1 2 3 4 5
1 2
1 3
2 4
2 5
1 2
1 4
3 5

样例输出1

2
4
5

样例输入2

10 10
1 1 1 7 8 5 5 7 4 6 
1 2
1 3
2 4
1 5
2 6
3 7
3 8
6 9
4 10
6 1
4 7
9 1
2 7
4 7
3 1
7 3
7 8
3 9
3 3

样例输出2

5
7
5
5
7
1
5
7
5
1

样例解释

在第一个样例中，从1

号点到2号点途径1,2，其中最大点权是2。从1号点到4号点途径1,2,4，其中最大点权是4。从3号点到5号点途径1,2,3,5，其中最大点权是5

。

数据范围

对于30

的数据，n≤100,m≤100

。

对于50

的数据，n≤2000,m≤2000

。

对于70

的数据，n≤2000,m≤200000,0<wi≤1000000000

。

对于100

的数据，n≤200000,m≤200000,0<wi≤264。

主要思路：

当时做这道题的时候就觉得这是一个lca，但是我们发现他还要在lca的过程中保存路径上的最大值，正解肯定是先预处理跳跃过程中经过的最大值，然后在询问的时候O(1)求最大值，但是由于本人蒟蒻一只，所以.....很明显的，这种预处理过程我并不会写，所以我就选择一步一步往上跳，每次跳的时候访问这个节点并且求出当前的最大值。每次询问每次lca一遍，最后就可以判断出路径上的最大值。70分~~

很明显的超出时间复杂度了qwq

先展示一下自己的70分代码，然后我们再来分析一下正解的做法，并顺便复习一下lca，如果等我把所有的题目都整理完还有时间，那么我们就一起来做一下出题人推荐的题目（与此题类似，据TA所说这个题目是那道题的简化版，好像只有绿？）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,m;
vector<int> v[202000];
int fa[200005];
int dep[200005];
int a[5020000];

void add(int x,int y)
{
    v[x].push_back(y);
}

void dfs(int x)
{
    for(int i=0;i<v[x].size();i++){
        int y=v[x][i];
        if(y==fa[x]) continue;
        fa[y]=x;
        dep[y]=dep[x]+1;
        dfs(y);
    }
}

int maxn=-999;

int lca(int x,int y)
{
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    maxn=max(a[x],a[y]);
    while(dep[x]>dep[y])
    {
        x=fa[x];
        maxn=max(maxn,a[x]);
    }
    
    if(x==y) return maxn;
    
    while(x!=y)
    {
        x=fa[x];
        y=fa[y];
        maxn=max(maxn,a[x]);
        maxn=max(maxn,a[y]);
    }
    
    return maxn;
    
}
int x,y;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    dep[1]=1;
    dfs(1);
    
    /*for(int j=0;j<=64;j++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            fa[i][j+1]=fa[fa[i][j]][j];
        }
    }*/
    
    while(m--)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d
",lca(x,y));
    }
    return 0;
}

std70：（出题人的70分代码）

可能没有想我这样啥的人用正解（lca）打了70分的暴力qwq

其实对于70分的数据，我们不需要用lca就可以实现

我们n*n预处理所有点之间的最大值，对于每次询问，我们直接O(1)输出答案即可

出题人的代码：（链式前向星存图）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<ctime>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
inline ull read(){
    ull x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int N=2005,M=2000005;
int n,m,tot;
ull w[N],maxx[N][N];
int ver[M],Next[M],head[N],d[N];
bool v[N][N];
queue<int> q;
void add(int x,int y){
    ver[++tot]=y;
    Next[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
void bfs(int a){
    maxx[a][a]=w[a];
    //maxx[x][y]表示从节点x到节点y路径上的最大值 
    q.push(a);
    v[a][a]=1;
    q.push(a);
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=Next[i]){
            int y=ver[i];
            if(v[a][y]) continue;
            v[a][y]=1;
            maxx[a][y]=max(maxx[a][x],w[y]);
            q.push(y);
        }
    }
}
int main()
{
//    freopen("dfy.in","r",stdin);
//    freopen("dfy.ans","w",stdout);
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        w[i]=read();
    }
    for(int i=1,x,y;i<=n-1;i++){
        x=read();y=read();
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        bfs(i);
    }
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
        x=read();y=read();
        printf("%llu
",maxx[x][y]);
    }
    return 0;
}

自己敲的70分正解代码：（vector存图）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int N=2005,M=2000005;
bool vis[N][N];
ull w[N],maxx[N][N];
queue<int> q;
vector<int> v[N];

void add(int x,int y)
{
    v[x].push_back(y);
}

inline ull read(){
    ull x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}

void bfs(int a)
{
    maxx[a][a]=w[a];
    q.push(a);
    vis[a][a]=1;
//    q.push(a);
    while(!q.empty() )
    {    
        int x=q.front() ;
        q.pop() ;
        for(int i=0;i<v[x].size();i++)
        {
            int y=v[x][i];
            if(vis[a][y]==1) continue;
            vis[a][y]=1;
            maxx[a][y]=max(maxx[a][x],w[y]);
            q.push(y); 
        }
    } 
}

int n,m;

int main()
{
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) w[i]=read();
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        int x,y;
        x=read();y=read();
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        bfs(i);//对于每个节点都要预处理它到
        //其他所有节点的最大值 
    }
    
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        x=read();y=read();
        printf("%llu
",maxx[x][y]);
    }
    return 0;
} 

100分正解：

其实在上面就已经说过了，正解就是lca+对点权的预处理。lca相信大家都不陌生（我相信），所以我们就直接从对于点权的预处理开始讲起。其实有了lca的前置知识，我们发现，由于我们是跳跃式进行lca查询的，所以我们也可以按照lca的方式，采取st表的方法对点权进行求解，设置一个变量maxx[x][i]表示节点x的第 2^i 个祖先与它之间的路径最大值，注意断句理解：节点x的，第 2^i 个祖先，与它之间的，路径的，最大值。（是不是感觉好理解了一点？如果 还是不行就建议多读几遍吧~），这样我们就按照lca的方式进行处理就好啦：

maxx[y][j]=max(maxx[y][j-1],maxx[f[y][j-1]][j-1]);

其实这里是采用的st表的方法来求的maxx，好像不是lca？

算了，反正大致就是这个意思了，但是注意这里面还有一些坑点：

数据范围是2^64，但是我们发现及时是unsigned long long也知道(2^64)-1的范围，而且据毒瘤出题人说他出的还是极限数据，所以这肯定会爆空间的，也就是说当输入数据是2^64时，输入数据会变成0（爆数据范围了嘛）。但是由于我们求的又是最大值，肯定要用到max函数，所以这里有一下两种方法：

1.对于0特殊处理（std采用的方法）

2.在输入的时候我们就先对数据进行处理，所有数据都减一，这样数据范围就可以贴合unsigned long long 的数据范围了，然后在最后输出答案的时候再加上1（但是我们发现这样还是要对2^64进行特殊处理qwq）

std100（链式前向星存图+附赠数据一份）：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<ctime>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
inline ull read(){
    ull x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int N=200005,M=400005;
int n,m,tot;
ull w[N],maxx[N][25];
int ver[M],Next[M],head[N],d[N],f[N][25];
queue<int> q;
void add(int x,int y){
    ver[++tot]=y;
    Next[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
void bfs(){
    d[1]=1;
    q.push(1);
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();
        q.pop(); 
        for(int i=head[x];i;i=Next[i]){
            int y=ver[i];
            if(d[y]) continue;
            d[y]=d[x]+1;
            f[y][0]=x;
            if(w[x]==0||w[y]==0) maxx[y][0]=0;
            else maxx[y][0]=max(w[x],w[y]);
            for(int j=1;j<=23;j++){
                f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
            }
            for(int j=1;j<=23;j++){
                if(maxx[y][j-1]==0||maxx[f[y][j-1]][j-1]==0) maxx[y][j]=0;
                else maxx[y][j]=max(maxx[y][j-1],maxx[f[y][j-1]][j-1]);
            }
            q.push(y);
        }
    }
}
void lca(int x,int y){
    if(d[x]<d[y]) swap(x,y);
    if(w[x]==0||w[y]==0){
        printf("18446744073709551616
");
        return;
    }
    ull maxn=max(w[x],w[y]);
    int k=log(d[x]-d[y])/log(2)+1;
    for(int i=k;i>=0;i--){
        if(d[f[x][i]]>=d[y]){
            if(maxx[x][i]==0){
                maxn=0;
                break;
            }
            maxn=max(maxn,maxx[x][i]);
            x=f[x][i];
        }
    }
    if(maxn==0){
        printf("18446744073709551616
");
        return;
    }
    if(x==y){
        printf("%llu
",maxn);
        return;
    } 
    k=log(d[x])/log(2)+1;
    for(int i=k;i>=0;i--){
        if(f[x][i]!=f[y][i]){
            if(maxx[x][i]==0||maxx[y][i]==0){
                maxn=0;
                break;
            }
            else{
                maxn=max(maxn,max(maxx[x][i],maxx[y][i]));
            }
            x=f[x][i];
            y=f[y][i];
        }
    }
    if(maxn==0){
        printf("18446744073709551616
");
        return;
    }
    if(maxx[x][0]==0||maxx[y][0]==0){
        maxn=0;
    }
    else{
        maxn=max(maxn,max(maxx[x][0],maxx[y][0]));
    }
    if(maxn==0){
        printf("18446744073709551616
");
        return;
    }
    else{
        printf("%llu
",maxn);
    }
}
int main()
{
//    freopen("dfy8.in","r",stdin);
//    freopen("dfy8.out","w",stdout);
    for(int i=0;i<=N-2;i++){
        for(int j=0;j<=23;j++){
            maxx[i][j]=1;
        }
    }
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        w[i]=read();
    }
//    for(int i=1;i<=n;i++){
//        printf("%llu ",w[i]);
//    }
//    printf("
");
    for(int i=1,x,y;i<=n-1;i++){
        x=read();y=read();
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    bfs();
//    for(int i=1;i<=n;i++){
//        for(int j=0;j<=3;j++){
//            printf("%llu ",maxx[i][j]);
//        }
//        printf("
");
//    }
//    for(int i=1;i<=n;i++){
//        printf("%llu ",d[i]);
//    }
//    printf("
");
    for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
        x=read();y=read();
        if(x==y){
            if(w[x]==0){
                printf("18446744073709551616
");
            }
            else{
                printf("%llu
",w[x]);
            }
        }
        else lca(x,y);
    }
    return 0;
}
/*
5 10
18446744073709551616 2 3 4 5
1 2
1 3
2 4
2 5
1 2
1 3
1 4
1 5
2 3
2 4
2 5
3 4
3 5
4 5
*/

自己敲的代码：(vector存图)：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;

typedef unsigned long long ull;
inline ull read() {
    ull x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch)) {
        x=x*10+ch-48;
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}

const int N=200005,M=400005;
int n,m,d[N];
ull w[N],maxx[N][25];
vector<int> v[N];
queue<int> q;
int f[N][25];



void bfs() {
    d[1]=1;//因为树上所有节点我们都是要遍历一遍的，
    //所以选取哪个点作为起点都是可以的
//    int y;
    q.push(1);
    while(!q.empty() ) {
        int x=q.front() ;
        q.pop() ;
        for(int i=0; i<v[x].size() ; i++) {
            int y=v[x][i];
            if(d[y]) continue;
            d[y]=d[x]+1;
            f[y][0]=x;
            if(w[x]==0||w[y]==0) maxx[y][0]=0;
            else maxx[y][0]=max(w[x],w[y]);

            for(int j=1; j<=23; j++) {
                f[y][j]=f[f[y][j-1]][j-1];
            }
            for(int j=1; j<=23; j++) {
                if(maxx[y][j-1]==0||maxx[f[y][j-1]][j-1]==0) maxx[y][j]=0;
                else maxx[y][j]=max(maxx[y][j-1],maxx[f[y][j-1]][j-1]);
            }
            q.push(y);
        }
        
    }
}


void add(int x,int y) {
    v[x].push_back(y);
}

void lca(int x,int y) {

//    cout<<x<<" "<<y<<" :"<<endl;
    if(d[x]<d[y]) swap(x,y);
    
    if(w[x]==0||w[y]==0) {
        printf("18446744073709551616
");
        return ;
    }

    ull maxn=max(w[x],w[y]);
//    cout<<maxn<<" 1"<<endl;

    int k=log(d[x]-d[y])/log(2)+1;

    for(int i=k; i>=0; i--) {
        if(d[f[x][i]]>=d[y]) {//1.需要取等！！！我调了好长时间才发现这个bug
            if(maxx[x][i]==0) {
                maxn=0;
//                cout<<maxn<<" 2"<<endl;
                break;
            }
            maxn=max(maxn,maxx[x][i]);
        
//        cout<<maxn<<" 3"<<endl;
//        cout<<"x: "<<x<<endl;
        x=f[x][i];
//        cout<<x<<" **** "<<endl;
        }
        
    }
//    cout<<"x: "<<x<<" "<<"y: "<<y<<endl;
//    cout<<maxn<<" 4"<<endl;
    
    if(maxn==0)
    {
        printf("18446744073709551616
");
        return;
    }
//    cout<<maxn<<endl;
    if(x==y)
    {
        printf("%llu
",maxn);
        return;
    }
    
    k=log(d[x])/log(2)+1;
    
    for(int i=k;i>=0;i--)
    {
        if(f[x][i]!=f[y][i]){
            if(maxx[x][i]==0||maxx[y][i]==0){
                maxn=0;
//                cout<<maxn<<" 5"<<endl;
                break;
            }
            else
            {
                maxn=max(maxn,max(maxx[x][i],maxx[y][i]));
//                cout<<maxn<<" 6"<<endl;
            }
            x=f[x][i];
            y=f[y][i];
        }
    }
    
    if(maxn==0) 
    {
        printf("18446744073709551616
");
        return ;
    }
    
//    cout<<maxn<<" maxn"<<endl;
    if(maxx[x][0]==0||maxx[y][0]==0)
    {
        printf("18446744073709551616
");
        return;
    }
    
    else
    {
        maxn=max(maxn,max(maxx[x][0],maxx[y][0]));
    }
    if(maxn==0)
    {
        printf("18446744073709551616
");
        return;
    }
    else printf("%llu
",maxn);
}




int main() {

    for(int i=0;i<=N-2;i++){
        for(int j=0;j<=23;j++){
            maxx[i][j]=1;
        }
    }    
    n=read();
    m=read();
    for(int i=1; i<=n; i++) w[i]=read();
    for(int i=1; i<=n-1; i++) {
        int x,y;
        x=read();
        y=read();
        add(x,y);
        add(y,x);
    }

    bfs();
    
    /*int k=24;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=k;j++)
        cout<<maxx[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    cout<<endl;
    k=24;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=k;j++)
        cout<<f[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }*/

    for(int i=1; i<=m; i++) {
        int x,y;
        x=read();
        y=read();
        if(x==y) {
            if(w[x]==0) printf("18446744073709551616
");//2.一开始这里的==写成=了，调了20min  qwq
            else printf("%llu
",w[x]);
//            cout<<w[x]<<endl;
        }

        else lca(x,y);
    }
    return 0;
}

不行不行，这个题太恶心了，我写了一个多小时，调了一个多小时，终于AC了qwq

长代码出现错误真的太致命了，写的时候一定一定要小心仔细!!不然最后找到哪里出错都是问题qwq

-----------end-----------