• 【XSY1262】【GDSOI2015】循环排插 斯特林数


    题目描述

      有一个(n)个元素的随机置换(P),求(P)分解出的轮换个数的(m)次方的期望( imes n!)

      (nleq 100000,mleq 30)

    题解

    解法一

      有一种暴力的做法:设(f_{i,j})(i)个元素的随机置换(P),分解出的轮换个数的(j)次方的期望( imes i!)

      考虑第(P_i)是什么。

      如果是(i),那么就多了一个轮换,用二项式定理展开得到(sum_{k=0}^jf_{i-1,k}inom{j}{k})

      如果不是(i),那么可以看成把(i)插入到已有的轮换中,有(i-1)种方法,答案就是((i-1)f_{i-1,j})

      处理出组合数直接DP即可。

      时间复杂度:(O(nm^2))

    解法二

      考虑排列中轮换的个数为(i)的方案数,发现答案就是(egin{bmatrix}n\iend{bmatrix})

      推一波式子。

    [egin{align} ans&=sum_{i=1}^negin{bmatrix}n\iend{bmatrix}i^m\ &=sum_{i=1}^negin{bmatrix}n\iend{bmatrix}sum_{j=1}^megin{Bmatrix}m\jend{Bmatrix}inom{i}{j}j!\ &=sum_{i=1}^megin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}i!sum_{j=i}^negin{bmatrix}n\jend{bmatrix}inom{j}{i}\ &=sum_{i=1}^megin{Bmatrix}m\iend{Bmatrix}egin{bmatrix}n+1\i+1end{bmatrix}i!\ end{align} ]

      最后这个式子是有组合意义的。

      你要把 (n) 个元素分成 (j) 个环,然后选 (i) 个环出来。这个的方案数等价于先组出 (i) 个环,然后把剩下的元素放到一起,把所有元素的后继看成一个排列,那么组出剩下 (j-i) 个环的方案数就是元素个数的阶乘,即加上一个物品后组成一个环的方案数。

      处理出斯特林数直接计算。

      时间复杂度:(O(nm+m^2))

    代码

    解法一

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<utility>
    #include<iostream>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    typedef pair<int,int> pii;
    void open(const char *s)
    {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    	char str[100];
    	sprintf(str,"%s.in",s);
    	freopen(str,"r",stdin);
    	sprintf(str,"%s.out",s);
    	freopen(str,"w",stdout);
    #endif
    }
    const ll p=1000000007;
    ll f[100010][40];
    ll fac[100010];
    ll c[110][110];
    int main()
    {
    	int n,k;
    	scanf("%d%d",&n,&k);
    	for(int i=0;i<=k;i++)
    	{
    		c[i][0]=1;
    		for(int j=1;j<=i;j++)
    			c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%p;
    	}
    	fac[0]=1;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    	f[0][0]=1;
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    	{
    		for(int j=0;j<=k;j++)
    			for(int k=0;k<=j;k++)
    				f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][k]*c[j][k])%p;
    		for(int j=0;j<=k;j++)
    			f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j]*(i-1))%p;
    	}
    	printf("%lld
    ",f[n][k]);
    	return 0;
    }
    

    解法二

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<utility>
    #include<iostream>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    typedef pair<int,int> pii;
    int rd()
    {
    	int s=0,c;
    	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
    	s=c-'0';
    	while((c=getchar())>='0'&&c<='9')
    		s=s*10+c-'0';
    	return s;
    }
    void open(const char *s)
    {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    	char str[100];
    	sprintf(str,"%s.in",s);
    	freopen(str,"r",stdin);
    	sprintf(str,"%s.out",s);
    	freopen(str,"w",stdout);
    #endif
    }
    const int p=1000000007;
    int s[100010][32];
    int S[31][31];
    int main()
    {
    	int n,m;
    	n=rd();
    	m=rd();
    	s[0][0]=1;
    	for(int i=1;i<=n+1;i++)
    		for(int j=1;j<=m+1;j++)
    			s[i][j]=(s[i-1][j-1]+ll(i-1)*s[i-1][j])%p;
    	S[0][0]=1;
    	for(int i=1;i<=m;i++)
    		for(int j=1;j<=m;j++)
    			S[i][j]=(S[i-1][j-1]+(ll)j*S[i-1][j])%p;
    	int ans=0;
    	int u=1;
    	for(int i=1;i<=m;i++)
    	{
    		u=(ll)u*i%p;
    		ans=(ans+(ll)u*S[m][i]%p*s[n+1][i+1])%p;
    	}
    	printf("%d
    ",ans);
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/ywwyww/p/8558795.html
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