• 约瑟夫环(Josephus)


    约瑟夫环

    来源http://hi.baidu.com/yangyuhang/blog/item/cd841b7b654f9ff20ad18704.html

    已知n个人(以编号1,2,3...n分别表示)围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数,数到m的那个人出列;他的下一个人又从1开始报数,数到m的那个人又出列;依此规律重复下去,直到圆桌周围的人全部出列。

    链表方法

      这个就是约瑟夫环问题的实际场景,有一种是要通过输入n,m,k三个正整数,来求出列的序列。这个问题采用的是典型的循环链表的数据结构,就是将一个链表的尾元素指针指向队首元素。 p->link=head

     

      解决问题的核心步骤:

      1.建立一个具有n个链结点,无头结点的循环链表

      2.确定第1个报数人的位置

      3.不断地从链表中删除链结点,直到链表为空

    void JOSEPHUS(int n,int k,int m) //n为总人数,k为第一个开始报数的人,m为出列者喊到的数
    { 
    /* p为当前结点,r为辅助结点,指向p的前驱结点,list为头节点*/
      LinkList p,r,list;

     /*建立循环链表*/
    int i;
      for(i=0,i<n,i++)
      {
      p=(LinkList)malloc(sizeof(LNode));
    p->data=i;
    if(list==NULL) list=p;
    else r->link=p;
    r=p;
      }
      p->link=list; /*使链表循环起来*/
     p=list; /*使p指向头节点*/

    /*把当前指针移动到第一个报数的人*/
      for(i=0;i<k;i++)
     {
    r=p; p=p->link;
     }

     /*循环地删除队列结点*/
     while(p->link!=p)
      {
      for(i=0;i<m-1;i++)
    {
    r=p; p=p->link;
      }
       r->link=p->link;
      printf("被删除的元素:%4d ",p->data);
    free(p);
    p=r->link;
      }
    printf("\n最后被删除的元素是:%4d",P->data);
    }

    Josephus(约瑟夫)问题的数学方法

    无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。

     

      为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:

     

      问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。我们知道第一个人(编号一定是m-1%n) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始): k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2。并且从k开始报0。

     

      现在我们把他们的编号做一下转换:

     

      k --> 0

     

      k+1 --> 1

     

      k+2 --> 2

       ... 

      ...

       k-3 --> n-3
       k-2 --> n-2
     

      变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x‘=(x+k)%n,如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式: 

      令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]

     

      递推公式

     

      f[1]=0;

       f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
     

      有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1

       由于是逐级递推,不需要保存每个f,程序也是异常简单:
     

      #include <stdio.h>

       int main(void)
       {
       int n, m, i, s=0;
       printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
       for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
        printf ("The winner is %d\n", s+1);
       }
     

      这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yuaqua/p/2276555.html
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