二叉排序树

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二叉排序树

1.定义

     二叉排序树(Binary Search Tree)又称二叉搜索(查找)树，其定义如下：

    (1)若它的左子树非空，则左子树上所有结点的权值都比根结点的权值小;

    (2)若它的右子数非空，则右子树上所有结点的权值都比根结点的权值大;

    (3)左、右子树本身又是一棵二叉排序树。

以上既是二叉排序树的定义，同时也是它的性质。从定义可以看出，二叉排序树的定义是一个递归的定义。对于一棵二叉排序树的中序遍历则是一个递增有序序列。

2.二叉排序树的插入Insert

   根据二叉排序树的递归定义，进行插入操作的时候可以用递归实现，其插入过程如下：

   (1)如果二叉排序树为空，则创建一个关键字为key的结点，并将其作为根结点;

   (2)否则将key和根结点的key值比较，若相等则返回;

       1)若key值小于根结点的key值，判断根结点的左孩子是否为空，如果为空，则创建一个关键字为key的结点，并将该结点作为根结点的

         左孩子;如果不为空，则递归插入到该根结点的左子树当中。

       2)若key值大于根结点的key值，判断根结点的右孩子是否为空，如果为空，则创建一个关键字为key的结点，并将该结点作为根结点的

         右孩子;如果不为空，则递归插入到该根结点的右子树当中。

　递归实现：

void insert(BSTNode *&root,ElemType key)      //注意这里为什么用指针的引用
{
    if(root==NULL)                //如果该树为空
    {
        root=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode));
        root->key=key;
        root->left=NULL;
        root->right=NULL;
    }
    else
    {
        if(root->key==key)
            return;
        else if(root->key>key)   //key小于根结点的权值
        {
            if(root->left==NULL)    //root的左孩子为空，则创建一个结点作为root的左孩子
            {
                BSTNode *p=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode));
                p->key=key;
                p->left=NULL;
                p->right=NULL;
                root->left=p;
            }
            else
                insert(root->left,key);   //递归插入到左子树中
        }
        else                     //key大于根结点的权值
        {
            if(root->right==NULL)    //root的右孩子为空，则创建一个结点作为root的右孩子
            {
                BSTNode *p=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode));
                p->key=key;
                p->left=NULL;
                p->right=NULL;
                root->right=p;
            }
            else
                insert(root->right,key);   //递归插入到右子树中
        }
    }
}

　非递归实现：

void insert(BSTNode *&root,ElemType key)   //非递归实现
{
    if(root==NULL)
    {
        root=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode));
        root->key=key;
        root->left=NULL;
        root->right=NULL;
        return;
    }
    BSTNode *p1,*p2;
    int flag;
    p1=root;
    while(p1!=NULL)
    {
        p2=p1;
        if(key==p1->key)
            return;
        else if(key<p1->key)
        {
            p1=p1->left;
            flag=0;
        }
        else
        {
            p1=p1->right;
            flag=1;
        }
    }
    BSTNode *p=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode));
    p->key=key;
    p->left=NULL;
    p->right=NULL;
    if(flag==0)
        p2->left=p;
    else
        p2->right=p;    
}

3.二叉排序树的查找

  最坏情况的查找是二叉排序树行成的是一个高度为n的线性树，其平均查找长度跟顺序查找的相同，为n+1/2;

  最好情况是与二分判定树形态相同，其平均查找长度和二分查找相同为logn;

BSTNode* search(BSTNode *root,ElemType key)
 {
    if(root==NULL||root->key==key)
        return root;
    else if(key<root->key)
        search(root->left,key);
    else
        search(root->right,key);
  }
BSTNode* search(BSTNode *root,ElemType key)
{
    if(root==NULL||root->key==key)
        return root;
    BSTNode *p=root;
    while(p!=NULL&&key!=p->key)
    {
        if(key<p->key)
            p=p->left;
        else 
            p=p->right;
    }
    return p;
}

关于二叉排序树的运用可以看一下POJ2418

http://poj.org/problem?id=2418

这道题目有2种解法，一种是采用二叉排序树去实现，一种是直接采用STL模板实现，下面只给出STL的实现。

#include<iostream>
#include<string>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main(void)
{
    int i;
    int n=0;
    map<string,int> tree;
    map<string,int>::iterator it;
    char str[31];
    while(gets(str))
    {
        string name;
        for(i=0;str[i]!='';i++)
        {
            name+=str[i];
        }
        tree[name]++;      //map<string,int>若没有赋初值，则value值默认为0
        n++;
    }
    for(it=tree.begin();it!=tree.end();it++)
    {
        cout<<it->first;
        printf(" %.4lf
",100*(double)(it->second)/n);
    }
    return 0;
}