WPL 和哈夫曼树
哈夫曼树，又称最优二叉树，是一棵带权值路径长度(WPL，Weighted Path Length of Tree)最短的树，权值较大的节点离根更近。
首先介绍一下什么是 WPL，其定义是树的所有叶结点的带权路径长度之和，称为树的带权路径长度，公式为 WPL = W1 * L1 + W2 * L2 + W3 * L3 + ... + Wn * Ln。
下面是个最简单且最直观的案例，通过实际案例能够更清晰的表示 WPL 和哈夫曼树。
百分制的成绩转换成五分制的成绩，伪代码如下：
if (score < 60) grade = 1; else if (score < 70) grade = 2; else if (score < 80) grade = 3; else if (score < 90) grade = 4; else grade = 5;
通过这个规则，可以生成一棵判定树，如下：
score < 60
/
grade = 1 score < 70
/
grade = 2 score < 80
/
grade = 3 score < 90
/
grade = 4 grade = 5
根据判定树可以看出：对于 60 分以下的分数，只需要一次就能够给出结果；对于 60~70 分的成绩，需要判断 2 次给出结果；对于 70~80 的成绩则需要判断 3 次，依次类推。
那么问题来了，绝大多数成绩处于 80~90 分，只有少数成绩处于 60 分以下及 90 分以上，那判断的次数是不是有点多呢？其中这个"绝大多数"和"少数"就是一个权值的概念了。
比如成绩分布如下：
| 成绩 | 0~59 | 60~70 | 70~80 | 80~90 | 90~100 | | 比例 | 0.05 | 0.15 | 0.30 | 0.40 | 0.10 |
那么判断次数等于： WPL = 0.05 * 1 + 0.15 * 2 + 0.30 * 3 + 0.40 * 4 + 0.10 * 5 = 3.35
这里产生一个想法：假如把 80~90 的判断拿到最前面，不就能够减少大部分成绩的计算路径了吗？
修改后的判定树应该是这样的
score < 80
/
score < 70 score < 90
/ /
score < 60 grade = 3 grade = 4 grade = 5
/
grade = 1 grade = 2
其判断次数等于：WPL = 0.40 * 2 + 0.30 * 2 + 0.10 * 2 + 0.15 * 3 + 0.05 * 3 = 2.2
通过上面的案例，就能够得出结论，哈夫曼树能够根据节点的查找频率来构造更有效的搜索树，是 WPL 最小的树。
哈夫曼树的构造可以理解为将权值最小的两棵二叉树合并，这个树的权值等于 2 个子树的和。
关于如何选取两个权值最小的二叉树，可以使用最小堆实现，复杂度是 O(N log N)。
比如权值：{1,2,3,4,5}，可以得出：
15 // 输出 15 / 6 9 // 取出 4，5 ；输出 9，得出 {6,9} / / 3 3 4 5 // 取出 3，3 ；输出 6，得出 {6,4,5} / 1 2 // 取出 1，2 ；输出 3，得出 {3,3,4,5}
计算以下 WPL = 2 * 3 + 2 * 4 + 2 * 5 + 3 * 1 + 3 * 2 = 33
哈夫曼树的特点：
- 没有度为 1 的节点(即不存在只有一个子节点的节点)
- n 个叶子节点的哈夫曼树，总节点数为 2n-1
- n0：叶节点总数
- n1：只有一个子节点的节点总数
- n2：有两个子节点的节点总数
- 那么 n2 = n0 - 1
- 由于没有度为 1 的节点，所以其总节点数为 n + n - 1 = 2n-1
- 哈夫曼树任意非叶节点的左右子树交换后仍是哈夫曼树
- 对同一权值{W1,W2,W3,...,Wn}，允许存在不同构造的两颗哈夫曼树
哈夫曼编码
哈夫曼编码用于数据存储中做压缩，如下案例：
给定一段包含 50 个字符的字符串，由 {a,b,c,d,e,f}构成，且每个字符出现次数不同，会有如下几种存储方式。
- 等长 ASCII 编码，存储长度为 50 * 8 = 400 位
- 等长 3 位编码，存储长度为 50 * 3 = 150 位
- 不等长编码，出现频率高的字符编码短些，出现频率低的字符编码长些。
第三种便可以使用哈夫曼树来实现，假如给定：
| 字符 | a | b | c | d | e | f | | 次数 | 18 | 4 | 16 | 1 | 1 | 10 |
构成哈夫曼树：
50
0/ 1
a(18) 32
0/ 1
c(16) 16
0/ 1
6 f(10)
0/ 1
2 b(4)
0/ 1
d(1) e(1)
所以： a:0; b:1101; c:10; d:11000; e:11001; f:111 。
长度为： 1 * 18 + 4 * 4 + 16 * 2 + 1 * 5 + 1 * 5 + 10 * 3 = 106 字符。
emmm... 大概就是这么个东西。好了，笔记写完了，继续学习...