SP5971 LCMSUM

题意：

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分析：

挺经典的用 (varphi) 反演的题

[displaystyle sum_{i=1}^nlcm(i,n)\ =sum_{i=1}^nfrac{in}{gcd(i,n)}\ =sum_{i=1}^nsum_dfrac{in}{d imes[gcd(i,n)==d]}\ =sum_{i=1}^{lfloor{frac{n}{d}} floor}sum_dfrac{idn}{d imes[gcd(i,n)==1]}\ =nsum_{d|n}sum_{i=1}^{lfloor{frac{n}{d}} floor}i[gcd(i,frac{n}{d})==1]\ =nsum_{d|n}sum_{i=1}^d i[gcd(i,d)==1]\ ]

其中 (displaystyle sum_{i=1}^d i[gcd(i,d)==1]) 等价于 (frac{d*varphi(d)}{2})

证明：

(forall gcd(i,n)==1)

存在 (gcd(n-i,n)==1)

所以必定存在两个与 (n) 互质的数和值为 (n)

QED.

总复杂度 (O(nlog )) 预处理时需要调和级数，但是要特判 (d=1) 时答案为 $1 $

---

另解：

[displaystyle sum_{i=1}^nfrac{in}{gcd(i,n)}\ =frac{1}{2}(sum_{i=1}^{n-1}frac{in}{gcd(i,n)}+sum_{i=n-1}^1frac{in}{gcd(i,n)})+n\ =frac{1}{2}sum_{i=1}^{n-1}frac{n^2}{gcd(i,n)}+n\ =frac{1}{2}sum_{d|n}frac{n^2}{d} imesvarphi(lfloorfrac{n}{d} floor)+n ]

最后一步枚举 (d) 时乘的 (varphi(lfloor{frac{n}{d}} floor)) 相当于是 (gcd(i,n)==d) 的个数

证明：

(gcd(i,n)==d o gcd(frac{i}{d},frac{n}{d})==1) 等价于 (varphi)

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define mk(x,y) make_pair(x,y)
#define lc rt<<1
#define rc rt<<1|1
#define pb push_back
#define fir first
#define sec second
#define inl inline
#define reg register

using namespace std;

namespace zzc
{
	typedef long long ll;
	inline ll read()
	{
		ll x=0,f=1;char ch=getchar();
		while (!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
		while (isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
		return x*f;
	}
	
	const int maxn =  1e6+5;
	ll n,t,cnt;
	ll p[maxn],phi[maxn],f[maxn];
	bool vis[maxn];
	
	void init()
	{
		phi[1]=1;
		for(int i=2;i<=1000000;i++)
		{
			if(!vis[i])
			{
				p[++cnt]=i;
				phi[i]=i-1;
			}
			for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=1000000;j++)
			{
				vis[i*p[j]]=true;
				if(i%p[j]==0) 
				{
					phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
					break;
				}
				phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
			}
		}
		for(int i=1;i<=1000000;i++) for(int j=i;j<=1000000;j+=i) f[j]+=phi[i]*i/2;
		for(int i=1;i<=1000000;i++) f[i]=i*f[i]+i;
	}
	
	void work()
	{
		ll a;
		init();
		t=read();
		while(t--)
		{
			a=read();
			printf("%lld
",f[a]);
		}
	}

}

int main()
{
	zzc::work();
	return 0;
}