BZOJ 4173: 数学

4173: 数学

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Description

 

Input

 输入文件的第一行输入两个正整数 。 

Output

 如题

Sample Input

5 6

Sample Output

240

HINT

 N,M<=10^15

Source

 

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据说单个欧拉函数$phi(N)$可以在$O(sqrt{N})$的时间内求出来，所以只关心$sum_{kin S(n,m)}{phi{k}}$是什么。看下PoPoQQQ。

n%k+m%k≥k等价于⌊n+mk⌋−⌊nk⌋−⌊mk⌋=1 
无视掉前面的φ(n)∗φ(m)的话答案就是 
∑n%k+m%k≥kφ(k) 
=∑n+mk=1φ(k)∗⌊n+mk⌋−∑nk=1φ(k)∗⌊nk⌋−∑mk=1φ(k)∗⌊mk⌋

那么∑nk=1φ(k)∗⌊nk⌋又是什么呢？ 
∑ni=1i=∑ni=1∑k|iφ(k)=∑nk=1φ(k)∗⌊nk⌋

因此答案为φ(n)∗φ(m)∗(∑n+mi=1i−∑ni=1i−∑mi=1i)=φ(

#include <cstdio>

typedef long long lnt;

__inline lnt phi(lnt n)
{
    lnt r = n;
    
    for (lnt i = 2; i*i <= n; ++i)
        if (n % i == 0)
        {
            r = (r / i) * (i - 1);
            while (n % i == 0)n /= i;
        }
        
    if (n != 1)r = (r / n) * (n - 1);
    
    return r;
}

const lnt mod = 998244353LL;

lnt n, m;

signed main(void)
{
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    printf("%lld
", 
        ((phi(n) % mod) * (phi(m) % mod) % mod)
    *    ((n % mod) * (m % mod) % mod) % mod);
}

@Author: YouSiki