BZOJ 3173: [Tjoi2013]最长上升子序列

3173: [Tjoi2013]最长上升子序列

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Description

给定一个序列，初始为空。现在我们将1到N的数字插入到序列中，每次将一个数字插入到一个特定的位置。每插入一个数字，我们都想知道此时最长上升子序列长度是多少？

Input

第一行一个整数N，表示我们要将1到N插入序列中，接下是N个数字，第k个数字Xk，表示我们将k插入到位置Xk（0<=Xk<=k-1,1<=k<=N）

Output

N行，第i行表示i插入Xi位置后序列的最长上升子序列的长度是多少。

Sample Input

3
0 0 2

Sample Output

1
1
2

HINT

100%的数据 n<=100000

Source

 

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分析

本来是想找Treap的练手题，考完NOIP放松一下心情的，结果看完题发现根本不用Treap……

首先，因为加入的元素是越来越大的，所以每次加入之后对于后面的元素的LIS的DP值（即以其结尾的最长上升子序列长度）不会改变，而前面的更不会改变。也就是说，最终序列的DP数组就是逐步加入的DP值了。所以只需要想方设法求出最终序列，再做一遍O(NlogN)的LIS问题即可。

求解最终的序列方法多种多样，可以用Treap暴力维护插入操作，也可以逆着推出最终的序列，我选择了后者。

对于第N个插入的元素，其插入的位置就是最终的位置。当它找到了最终位置之后，就把那个位置改为空。类似的，每个元素的最终位置，就是此时的第Xk个非空位置。这个操作用线段树维护即可轻松做到O(logN)，当然也可以树状数组+二分做到O(log^2N)，常数小也许跑得反而更快，(lll￢ω￢)。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define low lower_bound
#define upp upper_bound

const int N = 100005;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int n;
int pos[N];
int num[N];
int ans[N];
int stk[N];

struct node
{
    int lt, rt, sum;
    
    node (void) :
        lt (0), rt (0), sum (0) {};
};

node tree[N << 2];

void build (int p, int l, int r)
{
    node &t = tree[p];
    
    t.lt = l;
    t.rt = r;
    
    t.sum = r - l + 1;
    
    if (l != r)
    {
        int mid = (l + r) >> 1;
        
        build (p << 1, l, mid);
        build (p << 1 | 1, mid + 1, r);
    }
}

void change (int p, int pos, int val)
{
    node &t = tree[p];
    
    if (t.lt != t.rt)
    {
        int mid = (t.lt + t.rt) >> 1;
        
        if (pos <= mid)
            change (p << 1, pos, val);
        else
            change (p << 1 | 1, pos, val);
        
        t.sum = tree[p << 1].sum + tree[p << 1 | 1].sum;
    }
    else
        t.sum = val;
}

int query (int p, int val)
{
    node &t = tree[p];
    
    if (t.lt != t.rt)
    {
        int tmp = tree[p << 1].sum;
        
        if (val <= tmp)
            return query (p << 1, val);
        else
            return query (p << 1 | 1, val - tmp);
    }
    else
        return t.lt;
}

signed main (void)
{
    scanf ("%d", &n);
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf ("%d", pos + i);
        
    build (1, 1, n);
    
    for (int i = n; i >= 1; --i)
    {
        int t = query (1, pos[i] + 1);
        num[t] = i, change (1, t, 0);
    }
        
    memset (stk, inf, sizeof(stk));
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        *low (stk, stk + i, num[i]) = num[i];
        ans[num[i]] = low (stk, stk + i, num[i]) - stk;
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        ans[i] = max (ans[i], ans[i - 1]);
        
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        printf ("%d
", ans[i] + 1);
}

后记：

大概是刚考完NOIP，又要准备学考，大家的刷题兴致不高啊，居然被我轻松拿了Day榜，(*^_^*)/。

No.	User	Nick Name	AC	Submit	Ratio
1	YOUSIKI	ねえ、あなたは知っていますか、桜の行方の速度は秒速5センチメートル	5	6	83.333%

@Author: YouSiki