• ex06 汉诺塔2 非递归解法


    解法示意

    • 需借助二进制
    • 不妨以四层塔为例走一个
    • 我把左、中、右三根柱子依次称为 A, B, C
    • 金片默认都在 A 塔
    • n 片金片从小到大依次编号为 0, 1, 2, ... n-1
    • 设初始值为 0000(2)
    • 8, 4, 2, 1 称呼二进制的各位,对应关系如下图所示

    0000

    step1

    • 开始累加,每次加一
    • 0000(2) => 0001(2)
    • 因为1位由 01,所以将 0 号金片右移,即将 0 号金片由 A 移至 B
    • 补充:若要将 C 上的金片右移,则移至 A,因为三个塔是循环的

    0001

    step2

    • 0001(2) => 0010(2)
    • 产生进位,进到哪位,就移动该位对应的金片
    • 因为进位至2位,所以将 1 号金片右移
    • 因为 1 号金片不能放到 B,所以继续向右走,C 正好符合要求

    0010

    step3

    • 0010(2) => 0011(2)
    • 因为1位由 01,所以将 0 号金片右移,即将 0 号金片由 B 移至 C

    0011

    step4

    • 0011(2) => 0100(2)
    • 产生进位,因为进至4位,所以将 2 号金片右移

    0100

    step5

    • 0100(2) => 0101(2)
    • 因为1位由 01,所以将 0 号金片右移,即将 0 号金片由 C 移至 A

    0101

    • 按这个方法进行下去,当数字变成 1111 时,A 塔的四片金片就都在 C 塔上了

    说明

    关于结果

    • 此“二进制”方法可行,但奇数金片与偶数金片在结果上有些许不同
      • 若金片总数为奇数,最终会移至 B 塔
      • 若金片总数为偶数,最终会移至 C 塔
    • 使用高数中“轮换对称性”,在遇到奇数金片时,把原来的 B 塔看成 C 塔,把原来的 C 塔看成 B 塔

    两个规律

    • 规律一
      • 因为每走一步,数值加一,所以该二进制数即为步数
      • 该二进制数末尾 0 的个数对应要移动的金片
        • 没有 0,即为 0 个 0,对应 0 号金片;可回顾图 0001, 0011, 0101
        • 1 个 0,对应 1 号金片;可回顾图 0010
        • 2 个 0,对应 2 号金片;可回顾图 0100
        • 依此类推
    • 规律二
      • 编号为 0, 2, 4, ... 的金片,总是进行右移操作
      • 编号为 1, 3, 5, ... 的金片,总是进行左移操作
        • 因为只有三根柱子,所以右移 2 格就是左移 1 格

    移动次数

    • 按递归的思路,汉诺塔可分成三大步

      1. 将 A 上 n-1 片金片移至 B
      2. 将 A 剩余的 1 片金片移至 C
      3. 将 B 的 n-1 片金片移至 C
    • f(n)n 片金片完成移动需要的最少次数,则 f(n) = f(n-1) + 1 + f(n-1),即 f(n) = 2f(n-1) + 1

      • 若只有 1 片金片,则 f(1) = 1
      • 若有 2 片金片,则 f(2) = 3
      • 若有 3 片金片,则 f(3) = 7
      • 照此规律,可假设 f(n) = 2^n - 1
    • 可以用“第一类数学归纳法”证明 f(n) = 2^n - 1

      • n = 1 时,f(1) = 2^1 - 1 = 1,成立
      • n = k 时,设 f(k) = 2^k - 1 成立
      • => 当 n = k + 1 时,f(k+1) = 2f(k) + 1 = 2 * (2^k - 1) + 1 = 2^(k+1) - 1,满足假设
      • => 汉诺塔的移动次数为 f(n) = 2^n - 1,证毕

    代码

    def hanoi(n):
        cols = ['A', 'B', 'C'] if n % 2 == 0 else ['A', 'C', 'B']
        golds = [0] * n  # golds[idx] == tower_idx
        for step in range(1, 2 ** n):
            idx = len(bin(step & -step)) - 3  # lowbit 转二进制,开头是 0b1
            old_tower = cols[golds[idx]]
            golds[idx] = (golds[idx] + 1 + idx % 2) % 3  # 奇数比偶数多走一步
            print(f"step{step}: 将{idx}号金片从{old_tower}移到{cols[golds[idx]]}")
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yorkyu/p/10359865.html
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