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求 $ xin[1, a] , y in [1, b] $ 内 (gcd(x, y) = k)的(x， y)的对数。
问题等价于$ xin[1, a/k] , y in [1, b/k] $ 内 (gcd(x, y) = 1) 的(x， y)的对数。
假设a < b， 那么[1, a/k]这部分可以用欧拉函数算。 设 (iin (a/k, b/k]), (a/k, b/k]这部分可以用容斥算， 用a/k减去[1, a/k]里面和i不互质的数的个数。
具体看代码。
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <complex>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <bitset>
using namespace std;
#define pb(x) push_back(x)
#define ll long long
#define mk(x, y) make_pair(x, y)
#define lson l, m, rt<<1
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define rson m+1, r, rt<<1|1
#define mem1(a) memset(a, -1, sizeof(a))
#define mem2(a) memset(a, 0x3f, sizeof(a))
#define rep(i, n, a) for(int i = a; i<n; i++)
#define fi first
#define se second
typedef complex <double> cmx;
typedef pair<int, int> pll;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;
const int inf = 1061109567;
const int dir[][2] = { {-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1} };
const int maxn = 1e5+5;
ll phi[maxn];
vector <int> v[maxn];
void init() {
phi[1] = 1;
for(int i = 2; i<=100000; i++) {
if(!phi[i]) {
for(int j = i; j<=100000; j+=i ) {
if(!phi[j])
phi[j] = j;
phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
v[j].pb(i); //筛出j的素因子
}
}
phi[i] += phi[i-1]; //维护前缀和
}
}
int cal(int n, int b) { //算[1, b]中和n互质的数的个数
int len = v[n].size();
int sum = 1<<len;
int ret = 0;
for(int i = 1; i < sum; i++) {
int tmp = 1, cnt = 0;
for(int j = 0; j<len; j++) {
if((1<<j)&i) {
cnt++;
tmp *= v[n][j];
}
}
if(cnt & 1)
ret += b/tmp;
else
ret -= b/tmp;
}
return b-ret;
}
int main()
{
int cnt = 1, t, n, m, a, b, k;
cin>>t;
init();
while(t--) {
scanf("%d%d%d%d%d", &a, &a, &b, &b, &k);
printf("Case %d: ", cnt++);
if(a>b)
swap(a, b);
if(k == 0 || k>a||k>b) {
puts("0");
continue;
}
a /= k;
b /= k;
ll ans = phi[a];
for(int i = a+1; i<=b; i++) {
ans += cal(i, a);
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}