HDU 1695 GCD（欧拉函数+容斥原理）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695

题意：x位于区间[a, b]，y位于区间[c, d]，求满足GCD(x, y) = k的(x, y)有多少组，不考虑顺序。

思路：a = c = 1简化了问题，原问题可以转化为在[1, b/k]和[1, d/k]这两个区间各取一个数，组成的数对是互质的数量，不考虑顺序。我们让d > b，我们枚举区间[1, d/k]的数i作为二元组的第二位，因为不考虑顺序我们考虑第一位的值时，只用考虑小于i的情况。对于i<=b，因为第一位[1, i]都可以取到，互质的对数就是欧拉函数值。现在考虑i位于[b/k+1, d/k]，此时我们要用b - [1, b/k]中与i不互质数的个数，那么关键问题就是求[1, b/k]中与i不互质数的个数，我们将i分解质因子，在b/k范围内每个因子的倍数肯定与i不互质。设i的素因子分别的p1,p2...pk,则1..b/k中p1的倍数组成集合A1,p2的倍数组成集合A2,p3到A3.....pk到Ak,　由于集合中会出现重复的元素，所以用容斥原理来求A1并A2并A3.....并Ak的元素的数的个数。区间中与i不互质的个数 = （区间中i的每个质因数的倍数个数）-（区间中i的每两个质因数乘积的倍数）+（区间中i的每3个质因数的乘积的倍数个数）-（区间中i的每4个质因数的乘积）+ ...

code：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 100005;

LL phi[MAXN];       // 欧拉函数的和
int num[MAXN];      // 素因子个数
int p[MAXN][20];    // 素因子

void init()
{
    memset(phi, 0, sizeof(phi));
    memset(num, 0, sizeof(num));
    phi[1] = 1L;
    for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
        if (!phi[i]) {
            for (int j = i; j < MAXN; j += i) {
                if (!phi[j]) phi[j] = j;
                phi[j] = phi[j] * (i - 1) / i;
                p[j][num[j]++] = i;
            }
        }
        phi[i] += phi[i - 1];
    }
}

LL dfs(int idx, int b, int now) // 求不大于b的数中,与now不互质的数的个数;
{
    LL ret = 0;
    for (int i = idx; i < num[now]; ++i) { // 容斥原理来求A1并A2并A3.....并Ak的元素的数的个数
        ret += b / p[now][i] - dfs(i + 1, b / p[now][i], now);
    }
    return ret;
}


int main()
{
    init();
    int nCase;
    scanf("%d", &nCase);
    for (int cas = 1; cas <= nCase; ++cas) {
        int a, b, c, d, k;
        scanf("%d %d %d %d %d", &a, &b, &c, &d, &k);
        if (k == 0) {
            printf("Case %d: 0
", cas);
            continue;
        }
        if (b > d) swap(b, d);
        b /= k;
        d /= k;
        LL ans  = phi[b];
        for (int i = b + 1; i <= d; ++i) {
            ans += b - dfs(0, b, i); // 求不大于b的数中,与i不互质的数的个数
        }
        printf("Case %d: %lld
", cas, ans);
    }
    return 0;
}