乘法逆元

描述：若b * x = 1 (mod p)，则称b关于模p的乘法逆元为x。
条件：当b与p互质时，b关于模p的乘法逆元有唯一解；b与p不互质时，无解。
求法：由欧拉定理b^phi(p) = 1 (mod p)可知： x = b^(phi(p)-1) = b^(p-2)

1. 扩展欧几里得算法求逆元

LL extendEuclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if (0 == a && 0 == b) return -1;
    if (0 == b) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    d = extendEuclid(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

// bx = 1 （mod p)
LL modReverse(LL b, LL p) {
    LL x, y;
    LL d = extendEuclid(b, p, x, y);
    if (d == 1) return (x % n + n) % n;
    return -1;
}

2. bx = 1 （mod p)当b < p时的简洁求法

// bx = 1 （mod p)
// b < p 且b与p互质
LL modReverse(LL b, LL p) {
    if (1 == b) return 1;
    return modReverse(p % b, p) * (p - p / b) % p;
}

3. 利用欧拉函数x = b^(phi(p)-1) = b^(p-2)

// a^b mod p
LL fastModExp(LL a, LL b, LL p) {
    LL tmp = a;
    LL ret = 1L;
    while(b) {
        if(b & 1) ret = ret * tmp % p;
        tmp = tmp * tmp % p;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

// bx = 1 (mod p)
LL modReverse(LL b, LL p) {
    return fastModExp(b, p - 2, p);
}