本文以二维线性拟合为例，介绍批量梯度下降法、随机梯度下降法、小批量梯度下降法三种方法，求解拟合的线性模型参数。
需要拟合的数据集是 $(X_1, y_1), (X_2, y_2)..., (X_n, y_n)$，其中$X^i=(x_1^i, x_2^i)$，表示2个特征，$y^i$是对应的回归值。
拟合得到的函数是 $h_{ heta_1, heta_2}(X)$，尽可能使${h_{{ heta _1},{ heta _2}}}(X) approx y$。
损失函数是$J( heta_1, heta_2) = sumlimits_{i = 1}^n {{{({h_{ heta_1, heta_2} }({x_i}) - {y_i})}^2}}$。
损失函数是我们的性能评价指标，损失函数越小，代表我们得到函数$h_{ heta_1, heta_2}(X)$越能够拟合该数据集。
由于负梯度（函数的导数即为梯度）的方向是局部下降最快的地方，所以为了最小化损失函数，我们沿着损失函数的负梯度方向来调整参数。
1 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）
批量梯度下降法每次更新参数$ heta$都要计算所有的样本数，求全局最优，所以训练开销很大，算法描述如下：
1. 初始化$ heta_1, heta_2$，设置学习率$alpha$和终止条件$varepsilon$
2. 计算$ heta_1, heta_2$的梯度（偏导数），判断是否都小于终止条件$varepsilon$，若小于输出参数$ heta_1, heta_2$，若不小于，重复第三步。
3. 更新$ heta_1, heta_2$
$ heta_1 = heta_1 - alpha(frac{partial }{{partial { heta _1}}}J({ heta _1},{ heta _2}))$
$ = { heta _1} - alpha sumlimits_{i = 0}^n {({h_{{ heta _1},{ heta _2}}}({x_1}^i,{x_2}^i) - {y^i}){x_1}^i} $
$ heta_2 = heta_2 - alpha(frac{partial }{{partial { heta _2}}}J({ heta _1},{ heta _2}))$
$ = { heta _2} - alpha sumlimits_{i = 0}^n {({h_{{ heta _1},{ heta _2}}}({x_1}^i,{x_2}^i) - {y^i}){x_2}^i} $
批量梯度法稳定地下降，速度较慢。
2 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）
随机梯度下降法原理上与批量梯度下降法类似，不同的是更新参数$ heta$时，不是计算所有的样本数，而是随机计算一个样本。
加快了每次迭代的计算速度，但是收敛不稳定，更新公式如下：
${ heta _1} = { heta _1} - alpha ({h_{{ heta _1},{ heta _2}}}({x_1}^i,{x_2}^i) - {y^i}){x_1^i}$
随机梯度法快速下降，但同时也有更大幅度的波动。
3 小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）
小批量梯度下降法是批量梯度下降法和随机梯度下降法的一种平衡，对于$n$个样本，每次随机用$m$个样本，进行批量梯度更新。
是对速度和稳定性进行了折中，更新公式如下：
${ heta _1} = { heta _1} - alpha sumlimits_{i = 0}^x {({h_{{ heta _1},{ heta _2}}}({x_1}^i,{x_2}^i) - {y^i}){x_1}^i} $
小批量梯度法较快速下降，有小幅波动。
参考：
1. http://sofasofa.io/tutorials/python_gradient_descent/index.php