C [yLOI2019] 棠梨煎雪
Background
岁岁花藻檐下共将棠梨煎雪
自总角至你我某日辗转天边
天淡天青 宿雨沾襟
一年一会信笺却只见寥寥数言
——银临《棠梨煎雪》
Description
给定 (m) 个长度为 (n) 的可能含有 ？ 的 01 串，其中 ? 既能代表 0 也能代表 1， (q) 次操作，每次给定一个区间，求有多少 01 串满足区间内的所有字符串都可以解释成该 01 串，或者单点修改某个字符串。
Limitations
Solution
子任务 (1)：
输出 (0) 即可得分，期望得分 (5~pts)。
子任务 (2)：
考虑 (n) 只有 (10)，因此可以 (O(2^n)) 去枚举所有可能的串，然后对于每个询问 (O(m)) 的逐个判定是否合法。时间复杂度 (O(qm2^n))，期望得分 (10~pts)。
子任务 (3)：
考虑对于一段所有字符串的第 (x) 个字符，一共有四种可能：确定为 (0)；确定为 (1)；都可以；都不可以。如果 (0/1) 都不可以，则答案为 (0)，因为不会有任何一个字符串匹配该区间。如果确定为某个数，则这一位只有一种可能；否则这一位有两种可能。根据乘法原理，如果有 (a) 个位置有两种可能，则本次询问的答案为 (2^a)。
因此对于每个询问，(O(nm)) 地去遍历区间内所有字符即可。时间复杂度 (O(nmq))，期望得分 (15~pts)。
子任务 (4)：
考虑 (n) 只有 (30)，可以状压到 int 中。具体的，维护两个 int，第一个 int 维护对应位是否确定是 (0) 或 (1)，第二个 int 维护如果确定是 0 或 1 了那么具体是 0 还是 1。
例如，对于单个字符串，它所有的为 ? 的位置，在第一个 int 中对应位置是 0，所有为 0 或 1 的位置，在第在个 int 中对应的位置是 1，在第二个 int 中对应的位置是自身的值。
考虑 (a_1,~a_2) 是询问的左端点到某个字符串之前所维护的两个 int，(b_1,~b_2) 是该字符串的两个 int，现在合并这两个信息。
如果某一位置即不可以是 (1)，也不可以是 (0)，那么该字符串不为 ? 的位置在 (b_2) 中对应的值应该至少有一个和 (a_2) 中对应位置的值且 (a_1) 的该位置为 (1)，位运算可以表现为 ((a1~&~b_1)~&~(a_2~oplus~b_2) ~
eq 0)，则该询问的答案为 (0)。
否则这两段信息可以合并：将他们已经确定字符的位置合并起来，然后将确定位置对应的值合并起来即可。于是 (a_1) 对 (b_1) 取或， (a_2) 对 (b_2) 取或即可。
最终该询问 (0/1) 都可以的位置的个数即为 (a_1) 中 (1) 的个数。
时间复杂度 (O(mq))，期望得分 (15~pts)
子任务 (5)：
由于 (n) 只有 (1)，问题变成了求某个区间内的字符是不是全是 0，全是 1，全是 ? 或 0 和 1 都有。可以考虑用线段树非常轻松的维护这样的信息。
时间复杂度 (O(q log m))，期望得分 (15~pts)
子任务 (6)：
世界上没有什么事情是开一棵线段树不能解决的，如果有，那就开 (30) 棵。
时间复杂度 (O(nq log m))，期望得分 (10~pts)
子任务 (7)：
考虑结合子任务 (4) 和子任务 (5) 的做法，发现两个区间的状压信息也可以用子任务 (4) 的方法合并。因此用线段树维护这两个 int 的状压信息即可。
时间复杂度 (O(q log m))，期望得分 (30~pts)