[LeetCode]Perfect Squares

题目：Perfect Squares

给定一个正整数n，找到总和为n的最小数量的完美平方数（例如，1,4,9,16，...）。

For example, given n = 12, return 3 because 12 = 4 + 4 + 4; given n = 13, return 2 because 13 = 4 + 9.

思路：

动态规划。设F(i)表示总和为i的最小数量的完美平方数的个数。

F(i) = min{F(i - k*k) + 1};(1 <= k <= sqrt(i))

按照上面的关系可以求出F(n)。

时间复杂度O(nsqrt(n))，空间复杂度O(n)

int LeetCode::numSquares(int n){
    if(n <= 0)return 0;
    vector<int>minNumSquares(n + 1,INT_MAX);//统计完美平方数为i的最少数量
    minNumSquares.at(0) = 0;
    for (size_t i = 1; i <= n; ++i){
        for (size_t j = 1; j*j <= i; ++j){//求i的最少平方和数
            minNumSquares.at(i) = min(minNumSquares.at(i), minNumSquares.at(i - j*j) + 1);//比较当前的平方和数和i - j*j的最小平方和数加上j*j的组合
        }
    }
    return minNumSquares.back();
}

思路：

如果知道Legendre's three-square theorem和Lagrange's four-square theorem，就能更快的求解。

在数学中，勒让德的三维定理(Legendre's three-square theorem)表明，自然数可以表示为三个整数的平方和

对于整数a和b，当且仅当n不是形式

第一个数字不能表示为三个正方形的总和（即可以表示为的数字是7，15，23，28，31，39，47，55，60，63，71...）

拉格朗日的四平方定理(Lagrange's four-square theorem)也称为巴丘的猜想，指出每个自然数可以表示为四个整数平方的和。

四个数字a0,a1,a2,a3是整数。为了说明，3,31和310可以表示为以下四个正方形的总和：

具体的定理证明请自己去查，这里不详细说明。

利用上面的两个定理可以知道，任何一个自然数的都可以使用k个平方数的和来表示，且k的范围必定是[1,4]；

其中当k = 1，即自然数本身是平方数的情况；当k = 2或3，即自然数满足Legendre's three-square theorem；剩下的情况就是k = 4。

下面通过与来代替通常思路中的求模运算，是一个不错的思路，可以学习。

int LeetCode::numSquares(int n){
    if (n <= 0)return 0;
    int sqrt_n = sqrt(n);
    if (sqrt_n*sqrt_n == n)return 1;//平方数
    //判断是否符合Legendre's three-square theorem
    //去掉4 ^ a;
    /*while (!(n % 4)){
        n = n >> 2;
    }*/
    //更快速简洁的写法
    while (!(n & 0x03)){//n & 0011
        n >>= 2;
    }
    if ((n & 0x07) == 0x07){//等价于if (!(n - 7) % 8)
        return 4;//不符合Legendre's three-square theorem，用拉格朗日的四平方定理判断是4
    }
    sqrt_n = sqrt(n);
    for (size_t i = 1; i <= sqrt_n; i++){//判断是否是二平方数
        int k = n - i*i;
        int sqrt_k = sqrt(k);
        if (sqrt_k*sqrt_k == k)return 2;
    }
    return 3;
}