《几何与代数导引》例2.8

一条直线$l_1$绕另一条直线$l_2$旋转所得的旋转面的分类讨论：
1.若直线$l_1$与直线$l_2$重合，则旋转面是一条直线$l_1$.
2.若直线$l_1$与直线$l_2$不重合，则$l_1$和$l_2$之间必有公垂线.设$l_1$的
方程为
\begin{equation}
\label{eq:1}
\begin{cases}
  x=y=0\\
z\in\bf{R}\\
\end{cases}
\end{equation}
$l_2$的方程我们再分类讨论如下：

2.1 若$l_2$的方程为
\begin{equation}
\label{eq:2}
\begin{cases}
  x=a\\
y=0\\
z\in\bf{R}
\end{cases}
\end{equation}
其中$a\in\bf{R}$.则易得旋转得到圆柱面
\begin{equation}
\label{eq:3}
\begin{cases}
x^2+y^2=a^2\\
z\in\bf{R}\\
\end{cases}
\end{equation}
2.2若$l_2$的方程为
\begin{equation}
\label{eq:4}
\begin{cases}
  x=a\\
z=ky\\
\end{cases}
\end{equation}
其中$k\in\bf{R}$.则对于旋转面上任意一点来说$(x,y,z)$，都存在该旋转面上
的相应的点$(x_0,y_0,z_0)$.使得
\begin{equation}
\label{eq:5}
x_0^2+y_0^2+z_0^2=x^2+y^2+z^2
\end{equation}
且
\begin{equation}
\label{eq:6}
z=z_0
\end{equation}

且
\begin{equation}
\label{eq:7}
\begin{cases}
  x_0=a\\
z_0=ky_0\\
\end{cases}
\end{equation}
于是我们得
\begin{equation}
\label{eq:8}
a^2+y_0^2=x^2+y^2
\end{equation}
2.1.1当$k=0$时，我们可得$y_0$可取任意值，此时旋转面的方程为
\begin{equation}
\label{eq:9}
x^2+y^2\geq a^2
\end{equation}
2.1.2当$k\neq 0$时，我们得
旋转面的方程为
\begin{equation}
\label{eq:10}
x^2+y^2=a^2+(\frac{z}{k})^2
\end{equation}
2.1.2.1当$a\neq 0$时，即
\begin{equation}
\label{eq:11}
\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{k^2a^2}=1
\end{equation}
可见是旋转单叶双曲面.
2.1.2.2当$a=0$时，
\begin{equation}
\label{eq:12}
x^2+y^2=(\frac{z^2}{k^2})
\end{equation}
此时，是圆锥面.