本文继承《数学分析新讲》_张筑生,12.5节,隐函数定理(1).
设函数$F(x,y)$在包含$(x_0,y_0)$的一个开集$\Omega$上连续可微，且满足条件
\begin{equation}
F(x_0,y_0)=0,\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0,
\end{equation}
则存在以$(x_0,y_0)$为中心的开方块
\begin{equation}
D\times E\subset\Omega
\end{equation}
使得对任何一个$x\in D$,恰好存在唯一一个$y\in E$,满足方程\begin{equation}F(x,y)=0\end{equation}这就是说，方程$F(x,y)=0$确定了一个从$D$到$E$的函数$y=f(x)$.这函数$y=f(x)$在$D$连续可微，且它的导数可以按照下式计算:
\begin{equation}
\label{eq:22.13.11}
\frac{d y}{d x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial
x}(x,y)}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)}
\end{equation}(注意当$D$足够小的时候，$\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)$是不为零的，因为$F$在$(x_0,y_0)$处关于$y$的偏导数连续且不为零.)
证明:令区域$D\subseteq \Omega$,$\forall (x,y)\in D$,设$F(x+\Delta x,y+\Delta y)=0,F(x,y)=0$, 其中$\Delta x\neq 0$且
\begin{align*}F(x+\Delta x,y+\Delta y)&=F(x,y)+F'(x,y)(\Delta x,\Delta y)+\varepsilon(\Delta x,\Delta y)||(\Delta x,\Delta y)||\\&=F'(x,y)(\Delta x,\Delta y)+\varepsilon(\Delta x,\Delta y)||(\Delta x,\Delta y)||=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mbox{【1】} \end{align*}(这是因为$F$在$D$上可微),其中$(\Delta x,\Delta y)\to 0$时，$\varepsilon(\Delta x,\Delta y)\to 0$.则
\begin{equation}
\label{eq:25.10.14}
F'(x,y)(1,\frac{\Delta y}{\Delta x})+\varepsilon(\Delta x,\Delta
y)||(1,\frac{\Delta y}{\Delta x})||=0
\end{equation}
可见，
\begin{equation}
\label{eq:25.10.16}
F'(x,y)(1,\frac{\Delta y}{\Delta x})=0
\end{equation}(为什么?)即
\begin{equation}
\label{eq:25.10.19}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)&\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1\\
\frac{\Delta y}{\Delta x}\\
\end{pmatrix}=0
\end{equation}
可见，\ref{eq:22.13.11}成立.
注1:注意到 $F(x,y)=0$ 确定一个函数这一点要用到反函数定理(为什么?注:在此处用到单变量的反函数定理,当证明更高维数上的隐函数定理的时候,要用到多元的反函数定理).
注2:该命题很容易推广至 $\mathbf{R}^n\to {R}$ 的情形.