设$X$是有限集合，设$m$是整数.并且对于每个$x\in X$,令$(a_n(x))_{n=m}^{\infty}$是一个收敛的实数序列.证明序列$\displaystyle(\sum_{x\in X}a_n(x))_{n=m}^{\infty}$是收敛的.并且
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{x\in X}a_n(x)=\sum_{x\in X}\lim_{n\to\infty}a_n(x)$$
证明：$X$是有限集合，所以存在从$\{i\in\mathbb{N}:1\leq i\leq n\}$到$X$的双射$g$.设$\forall 1\leq i\leq n,\lim_{n\to\infty}(a_n(g(i)))_{n=m}^{\infty}=k_i$.即对于任意给定的正实数$\varepsilon_i$,都存在整数$N_i$,使得当$n> N_i$时都有$|a_{N_i}(g(i))-k|< \varepsilon_i$.取$N_i(1\leq i\leq n)$的最大值$\max N_i$.我们得
\begin{align*}
|\sum_{x\in X}a_{\max N_i}(x)-\sum_{i=1}^nk_i|&=|\sum_{i=1}^na_{\max N_i}(g(i))-\sum_{i=1}^nk_i|\\&=|\sum_{i=1}^n(a_{\max N_i}(g(i))-k_i)|\\&\leq\sum_{i=1}^n|a_{\max N_i}(g(i))-k_i|< \sum_{i=1}^n\varepsilon_i\end{align*}
可见，命题成立.
