$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots $

无穷级数
\begin{equation}
\label{eq:2.13.39}
\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots
\end{equation}

令$a_n=\frac{1}{0!}+\cdots+\frac{1}{n!}(n\geq 0)$.我们知道，\begin{equation}\label{eq:3.13.14}a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)!}\end{equation}

所以，\begin{equation}\label{eq:3.13.25}a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}(a_n-a_{n-1})\end{equation}

把\ref{eq:3.13.25}的关系反映在数轴上，几何意义就凸显出来了.如图.

由式\ref{eq:2.13.39}的几何意义，可知数列$(a_n)_{n=0}^{\infty}$是递增的，且有上界.因此该数列收敛到一个实数，这个实数就是\ref{eq:2.13.39}.下面我证明\ref{eq:2.13.39}是一个无理数.

这是因为，假若\ref{eq:2.13.39}是一个有理数，则\ref{eq:2.13.39}必定是$\frac{1}{q}$的倍数，其中$q$是正整数.设自然数$N>q$,则\ref{eq:2.13.39}必定是$\frac{1}{N!}$的整数倍(为什么?).我们知道，$a_N$必定是$\frac{1}{N!}$的整数倍(为什么?)，因此

\begin{equation}\label{3.18.22}(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots)-a_N \end{equation}是$\frac{1}{N!}$的整数倍(为什么?),即

\begin{equation}\label{3.18.23}\frac{1}{(N+1)!}+\frac{1}{(N+2)!}+\cdots\end{equation}是$\frac{1}{N!}$的整数倍.然而根据几何意义(你也可以用代数验证)，易证这是不可能的.

因此假设错误，即\ref{eq:2.13.39}是一个无理数.

注:我们知道，$e=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots$,即$e$是无理数.