设$(c_n)_{n=1}^{\infty}$是正数序列，那么我们有
$$\liminf_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}\leq\liminf_{n\to\infty}c_n^{\frac{1}{n}}\leq\limsup_{n\to\infty}c_n^{\frac{1}{n}}\leq\limsup_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}$$
为此先来看一个相关问题：
引理1:
设$(a_n)_{n=1}^{\infty}$是一个数列，则$$\liminf_{n\to\infty}a_n\leq\liminf_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^na_i}{n}$$
引理1是显然的.
引理2：
设$(a_n)_{n=1}^{\infty}$是一个数列，则
$$\limsup_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^na_i}{n}\leq\limsup_{n\to\infty} a_n$$
引理2 也是显然的.类比引理1和引理2的证法，易证引理7.5.2成立.