Zorn引理 ：$(X,\leq)$是一个非空偏序集.若$X$的每个全序子集$(Y,\leq)$都有上界，则$(X,\leq)$有最大元.
为了证明Zorn 引理，需要另外的引理：
引理：$(X,\leq)$是非空偏序集，$x_0\in (X,\leq)$,则$(X,\leq)$有一个良序子集$(Y,\leq)$,$(Y,\leq)$以$x_0$为最小元，并且$(Y,\leq)$没有严格上界.
引理证明：采用反证法.我先证明假如每个以$x_0$为最小元的良序子集(以$\leq$为良序关系)都有严格上界，那么任意给定一个序数，$(X,\leq)$中必存在良序子集(以$\leq$为良序关系)与该序数序同构.
证明采用强数学归纳法.对于序数$\emptyset$来说，存在$X$的良序子集$\emptyset$与其序同构.
对于序数$k$,假设$\forall x\in k$,$X$中都存在良序集$(y,\leq)$与$x$序同构(注意，如果序数$k$不是自然数，那么在做出这个假设的时候要用到选择公理 ，为什么?)，使得当$x_1,x_2\in k,x_1\subseteq x_2$，且$x_1$与$(y_1,\leq)$序同构，$x_2$与$(y_2,\leq)$序同构时，$(y_1,\leq)$是$(y_2,\leq)$的前段.把$(X,\leq)$中所有与 属于$k$的序数 序同构的元素$(y,\leq)$并起来，形成一个集合$B=\bigcup y$,易得$B$关于$\leq$形成良序集(为什么?提示:使用这两个结论:1.某些序数形成的类$F$，在$F$中，必存在最小的序数$\min (F)$,$\min (F)$含于$F$中的每一个序数.2.良序集的子集必是良序集.)，且$(B,\leq)$是$(X,\leq)$的子集(为什么?)
当$k$不是一个极限序数，也就是说，存在序数$\beta$,使得$\beta\bigcup\{\beta\}=k$.那么，由于$X$里存在良序集$(y',\leq)$与$\beta$序同构,且由假设，$(y',\leq)$存在严格上界$l$，所以$(y'\bigcup\{l\},\leq)$与$k$序同构.
当$k$是一个极限序数，即不存在序数$\beta$,使得$\beta\bigcup\{\beta\}=k$.那么易得$k=\bigcup_{\beta\in k}\beta$(为什么?).可见此时，$k$与$(B,\leq)$序同构(为什么?).
综上，由强数学归纳法，对于任何序数，$(X,\leq)$中总存在良序子集(以$\leq$为关系)与该序数序同构.
根据布拉利-福尔蒂悖论,所有的序数无法形成一个集合，所以$X$的所有子集无法形成一个集合(为什么?).这与幂集公理矛盾.因此假设错误.即存在$(X,\leq)$的良序子集(以$\leq$为良序关系)，该良序子集以$x_0$为最小元且没有严格上界.引理证毕.
证完了引理后，Zorn引理就很简单了：如果非空偏序集$(X,\leq)$没有最大元，则$(X,\leq)$中的以$x_0$为最小元的良序集(以$\leq$为良序关系)都有严格上界(为什么?)，这与引理矛盾.因此Zorn引理成立.
注:我发现引理的否定和集合$A\in A$具有一定程度的相似性.而后者已经被正则公理所否定.