解题：NOI 2014 购票

题面

 观察一下部分分，我们发现链上的部分分是这样一个DP：

 $dp[i]=min(dp[i],dp[j]+dis(i,j)*p[i]+q[i])(dis(i,j)<=lim[i]&&j∈anc(i))$

对于可以对$i$转移的两个位置$j$和$k$，假设$dep[j]>dep[k]$且$j$比$k$优，那么倒腾一下式子

$dp[j]+dis(i,j)*p[i]+q[i]<dp[k]+dis(i,k)*p[i]+q[i]$

$dp[j]-dp[k]<(dis(i,k)-dis(i,j))*p[i]$

$frac{dp[j]-dp[k]}{dis(i,k)-dis(i,j)}<p[i]$

因为$dis$是单调的，这个东西可以使用斜率优化，因为$p[i]$不单调每次需要二分来转移

然后问题来了，现在不是棵树，如果提出来每条链来做是O(叶子数*len)的，会被扫帚图卡掉，于是有了各种优化来做这道题：

Sol1：用轻重链剖分优化，直接以一个log的代价把整条链拼出来，再用一个log的数据结构维护，复杂度$O(nlog^3 n)$

Sol2：用可持久化数据结构维护单调队列或者用待撤销的二进制分组，利用上面一段已经处理好的链分别处理每个叶子，只需要一个log，复杂度$O(nlog^2 n)$

Sol3(我写的这个)：不用数据结构维护，用点分治的方法，每次把重心和它子树外的部分递归处理，然后DFS重心的子树，子树里的节点按向上延伸后的深度排序后DP，之后再处理每一棵子树。排序和DP的log是并列的，复杂度$O(nlog^2 n)$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=200005,inf=1e9;
int n,t,c,cnt,top,tpp,tsiz,maxx;
int fth[N],p[N],noww[N],goal[N],siz[N],vis[N],stk[N],sta[N];
long long len[N],val[N],dis[N],pr1[N],pr2[N],lim[N],dp[N],rd;
bool cmp(int a,int b)
{
    return dis[a]-lim[a]>dis[b]-lim[b];
}
double Slope(int a,int b)
{
    return (double)(dp[b]-dp[a])/(double)(dis[b]-dis[a]);
}
void Link(int f,int t,long long v)
{
    noww[++cnt]=p[f],p[f]=cnt;
    goal[cnt]=t,val[cnt]=v;
}
void Getdis(int nde)
{
    for(int i=p[nde];i;i=noww[i])
        dis[goal[i]]=dis[nde]+val[i],Getdis(goal[i]);
}
void Mark(int nde,int sze)
{
    siz[nde]=1; int tmp=0;
    for(int i=p[nde];i;i=noww[i])
        if(!vis[goal[i]])
        {
            Mark(goal[i],sze);
            siz[nde]+=siz[goal[i]];
            tmp=max(tmp,siz[goal[i]]);
        }
    tmp=max(tmp,sze-siz[nde]);
    if(tmp<=maxx) maxx=tmp,c=nde;
}
void DFS(int nde)
{
    stk[++top]=nde;
    for(int i=p[nde];i;i=noww[i]) 
        if(!vis[goal[i]]) DFS(goal[i]);
}
void DP(int nde,int anc)
{
    for(int i=1;i<=top;i++)
    {
        int nod=stk[i];
        while(nde!=fth[anc]&&dis[nod]-dis[nde]<=lim[nod])
        {
            while(tpp>=2&&Slope(sta[tpp],nde)>=Slope(sta[tpp-1],sta[tpp])) 
                tpp--; sta[++tpp]=nde,nde=fth[nde];
        }
        if(tpp)
        {
            int l=1,r=tpp,best;
            while(l<=r)
            {
                int mid=(l+r)/2;
                double s=(mid==tpp)?-inf:Slope(sta[mid],sta[mid+1]);
                if(s<=pr1[nod]) r=mid-1,best=mid; else l=mid+1;
            }
            best=sta[best],dp[nod]=min(dp[nod],dp[best]+(dis[nod]-dis[best])*pr1[nod]+pr2[nod]);
        }
    }
}
void PDC(int nde,int sze)
{
    if(sze<=1) return;
    maxx=inf,Mark(nde,sze); int hc=c; 
    for(int i=p[hc];i;i=noww[i])
        vis[goal[i]]=true,sze-=siz[goal[i]];
    PDC(nde,sze),top=0;
    for(int i=p[hc];i;i=noww[i]) DFS(goal[i]);
    sort(stk+1,stk+1+top,cmp),tpp=0,DP(hc,nde);
    for(int i=p[hc];i;i=noww[i]) PDC(goal[i],siz[goal[i]]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&t);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%lld",&fth[i],&rd),Link(fth[i],i,rd);
        scanf("%lld%lld%lld",&pr1[i],&pr2[i],&lim[i]),dp[i]=1e18;
    }
    Getdis(1),PDC(1,n);
    for(int i=2;i<=n;i++) printf("%lld
",dp[i]);
    return 0;
}