CF1461F

先大力分类讨论：

• 有 ( exttt +)，此时如果有 ( exttt-) 它也没有用，被 ( exttt+) 代替会更优。
  • 有 ( exttt*)，这是接下来讲的重点；
  • 无，那就全部 ( exttt+)；
• 无，此时有 ( exttt-) 的话就有用了。
  • 有 ( exttt-)。
    • 有 ( exttt*)，这个还稍微有点东西，但也非常简单。如果没有 (0) 那显然全 ( exttt*)，否则答案下限是 (0)，然后考虑有 ( exttt-) 的情况。那就分成至少两段，第一段的贡献是正的，后面都是负的。那么显然找到第一个 (0) 前面都是 ( exttt*)，然后 ( exttt-) 一下后面都是 ( exttt*) 是最优的，因为最大化了第一段也最小化了后面；
    • 无，那就全 ( exttt-)；
  • 无，那就全 ( exttt*)。

下面重点讨论上述重点。

我们显然有一个平方的 DP，就是考虑对这个 ( exttt*) 段 DP，每次用前缀积 (mathrm O(n)) 转移。然后也一脸优化不了。于是我们来找性质。

显然所有 (0) 两边都必须是 ( exttt+)，如果是 ( exttt*) 的话改成 ( exttt+) 显然更优。也就是 (0) 们把整个数列分成了独立的好几段，考虑对每段分别考虑。

然后如果全部 (>1) 的话，显然是全 ( exttt*) 最好。但关键有 (1) 存在，可以弱化成这样一个结论：相邻两个 (>1) 之间必须是 ( exttt*)，也容易反证。于是我们把它们缩起来。

那么 (1) 可以看作浓缩饼干之间的桥梁。如果想要把两边断开的话，那就全 ( exttt+) 最好，否则只能全 ( exttt*) 才能连上。于是就变成了对 (1) 段们的决策问题，似乎还是需要类似一开始的平方 DP。

但这时候有个好性质：一旦如果全 ( exttt*) 能够非常大的话（我取的是 (10^9)），那就所有桥梁必须连起来，否则单凭加法的力量是完全被降维打击的。只有两端的 (1) 段能够 ( exttt+)。然后又因为每段浓缩饼干都 (geq2)，所以这时候段数是 (log) 级的，那怎么乱搞都可以了吧。我们依然考虑上述 DP，前缀积优化转移，记录路径，总复杂度 (mathrm O!left(nlog^2 ight))。

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