AVL树说明:
该树是一种高度平衡的二叉搜索树,该树中的每一个结点左右子树的高度至多相差1。
AVL树本身也是一个二叉搜索树。
AVL基本结构定义如下:
#define LH +1 // 左高 #define EH 0 // 等高 #define RH -1 // 右高 struct BTNode { int data; int bf; struct BTNode *lchild; struct BTNode *rchild; };
斐波那契数列:
1、1、2、3、5、8、13、21、34、……
其递推式定义为:F(1) = 1, F(2) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n>=3)
即斐波那契数列的第1、第2项都为1,然后后面的每一项都是前两项之和。
平衡二叉树最少结点计算:
完全二叉树是平衡二叉树最“完全”的状态。
那满足平衡二叉树的最不完全的状态,即结点最少的状态是怎样的?
树高度记为h,树中结点总数记为C,结点内的值代表平衡因子,则:
高度为h的平衡二叉树的最少结点总数为Ch = Ch-1 + Ch-2 + 1
和斐波那契数列对比:
Fh 1 1 2 3 5 8 13 21 34
Ch 1 2 4 7 12 20 33
所以Ch = F(n+2) - 1
如何画出上面的图:每次增加一个最左结点导致高度加1,然后需要补充一些结点,在原来树中度为0的结点下增加一个左孩子,度为1的
结点下增加一个右孩子即可。
AVL树旋转详解
若某节点A出现失衡,即左子树或右子树长高了,导致左右子树的高度差2,会有以下四种情况:
- 该点左子树比右子树高度高2,因为原来是平衡的,所以新结点一定是左孩子的孩子结点
1. 在左孩子的左子树上插入结点
由于是左子树增高,所以左孩子B结点一定存在,其余抽象,BL,BR,AR的高度均是H,否则无法导致插入后A点失衡。
插入新结点后,BL这棵树高度加1。
需要进行右旋,对比上图可得如下代码:
void R_Rotate(BTNode *&A) { BTNode *B= A->lchild; A->lchild = B->rchild; B->rchild = A; A = B; }
插入到左子树的左孩子整体的平衡调整代码如下:
A->bf = EH; B->bf = EH; R_Rotate(A);
2. 在左孩子的右子树上插入结点
结点插入在BR上这棵树上,BR树高度变为H+1,将BR树变成b图所示形式,必存在一个C结点,其左右子树高度差1,
b图画的是CL比CR高,当然也可能是CR比CL高,调整平衡因子的时候需要做判断。
插入到左孩子的右子树导致的失衡,应该先左旋再右旋,代码如下:
BTNode *B = A->lchild; BTNode *C = B->rchild; switch (C->bf) { case LH: // CL高度H, CR高度H-1 A->bf = RH; B->bf = EH; break; case EH: // CL高度H, CR高度H A->bf = EH; B->bf = EH; break; case RH: // CL高度H-1, CR高度H A->bf = EH; B->bf = LH; break; } C->bf = EH; L_Rotate(B); R_Rotate(A); // 右旋代码见下
- 该点右子树比左子树高度高2,因为原来是平衡的,所以新结点一定是右孩子的孩子结点
1. 在右孩子的右子树上插入结点
需要进行左旋,对比上图可得如下代码:
void L_Rotate(BTNode *&A) { BTNode *B = A->rchild; A->rchild = B->lchild; B->lchild = A; A = B; }
插入到右子树的右孩子整体的平衡调整代码如下:
A->bf = EH; B->bf = EH; L_Rotate(A);
2. 在右孩子的左子树上插入结点
插入到右孩子的右子树导致的失衡,应该先右旋再左旋,代码如下:
BTNode *B = A->rchild; BTNode *C = B->lchild; switch (C->bf) { case LH: // CL高度H, CR高度H-1 A->bf = EH; B->bf = RH; break; case EH: // CL高度H, CR高度H A->bf = EH; B->bf = EH; break; case RH: // CL高度H-1, CR高度H A->bf = LH; B->bf = EH; break; } C->bf = EH; R_Rotate(B); L_Rotate(A);
算法实现:
层层递归到栈底,插入一个结点后,返回到栈上一层,taller置为true,然后判断是否该旋转该结点并修改平衡因子,判断是否增高,再返回栈上一层。。。。
void LeftBalance(BTNode *&A) { BTNode *C = A->lchild; switch (C->bf) { case LH: A->bf = EH; B->bf = EH; R_Rotate(A); break; case RH: BTNode *B = C->rchild; switch (B->bf) { case LH: A->bf = RH; C->bf = EH; break; case EH: A->bf = EH; C->bf = EH; break; case RH: A->bf = EH; C->bf = LH; break; } B->bf = EH; L_Rotate(C); R_Rotate(A); break; } } void RightBalance(BTNode *&A) { BTNode *B = A->rchild; switch (B->bf) { case RH: A->bf = EH; B->bf = EH; L_Rotate(A); break; case LH: BTNode *C = B->lchild; switch (C->bf) { case LH: A->bf = EH; B->bf = RH; break; case EH: A->bf = EH; B->bf = EH; break; case RH: A->bf = LH; B->bf = EH; break; } C->bf = EH; R_Rotate(B); L_Rotate(A); break; } } int InsertAVL(BTNode *&t, int e, int &taller) { if (t == NULL) { t = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode)); t->data = e; t->lchild = NULL; t->rchild = NULL; t->bf = EH; taller = true; } else { if (t->data == e) { taller = false; return false; } else if(t->data > e) { if (InsertAVL(t->lchild, e, taller) == false) return false; // e插入到左子树,且左子树长高 if (taller) { // 判断结点原来的平衡因子 switch(t->bf) { case LH: LeftBalance(t); taller = false; break; case EH: t->bf = LH; taller = true; break; case RH: t->bf = EH; taller = false; break; } } } else { if (InsertAVL(t->rchild, e, taller) == false) return false; // e插入到右子树,且右子树长高 if(taller) { // 判断结点原来的平衡因子 switch(t->bf) { case LH: t->bf = EH; taller = false; break; case EH: t->bf = RH; taller = true; break; case RH: RightBalance(t); taller = false; break; } } } } return true; }