摘自[3D数学基础: 图形与游戏开发]
考虑在3D中两条以参数形式定义的射线:
(vec{r_1}(t_1)=vec{p_1}+t_1vec{d_1})
(vec{r_2}(t_2)=vec{p_2}+t_2vec{d_2})
我们能够解得它们的交点。暂时先不考虑(t_1,t_2)的取值范围。因此，我们考虑的是无限长的射线；同样，向量(vec{d_1},vec{d_2})也不必是单位向量。如果这两条射线在一个平面中，那么和前一节的情况一样，也存在有一种可能性：
- 两条射线交于一点；
- 两条射线平行，没有交点；
- 两条射线重合，有无限多交点。
在3D中，还有第四种可能性：两条射线不在一个平面中。
下面演示如何解得交点处的(t_1,t_2):
(vec{r_1}(t_1)=vec{r_2}(t_2))
(Rightarrow vec{p_1}+t_1vec{d_1}=vec{p_2}+t_2vec{d_2})
(Rightarrow t_1vec{d_1}=vec{p_2}+t_2vec{d_2}-vec{p_1})
(Rightarrow (t_1vec{d_1}) imesvec{d_2} =(vec{p_2}+t_2vec{d_2}-vec{p_1}) imesvec{d_2})
(Rightarrow t_1(vec{d_1} imesvec{d_2}) =t_2(vec{d_2} imesvec{d_2})+(vec{p_2}-vec{p_1}) imesvec{d_2})
(Rightarrow t_1(vec{d_1} imesvec{d_2}) =t_2vec{0}+(vec{p_2}-vec{p_1}) imesvec{d_2})
(Rightarrow t_1(vec{d_1} imesvec{d_2})cdot(vec{d_1} imesvec{d_2}) =(vec{p_2}-vec{p_1}) imesvec{d_2}cdot(vec{d_1} imesvec{d_2}))
(Rightarrow t_1 =cfrac{(vec{p_2}-vec{p_1}) imesvec{d_2}cdot(vec{d_1} imesvec{d_2})}{(vec{d_1} imesvec{d_2})cdot(vec{d_1} imesvec{d_2})})
(Rightarrow t_1 =cfrac{(vec{p_2}-vec{p_1}) imesvec{d_2}cdot(vec{d_1} imesvec{d_2})}{Vertvec{d_1} imesvec{d_2}Vert^2})
也可以用类似的方法求出(t_2):
(t_2 =cfrac{(vec{p_1}-vec{p_2}) imesvec{d_1}cdot(vec{d_2} imesvec{d_1})}{Vertvec{d_2} imesvec{d_1}Vert^2})
(Rightarrow t_2 =cfrac{(vec{p_2}-vec{p_1}) imesvec{d_1}cdot(vec{d_1} imesvec{d_2})}{Vertvec{d_1} imesvec{d_2}Vert^2})
如果两条射线平行或重合，(vec{d_1},vec{d_2})的叉乘为零，所以上面两个等式的分母都为零。如果两条射线不在一个平面内，那么(vec{r_1}(t_1),vec{r_2}(t_2))是相距最近的点。通过检查(vec{r_1}(t_1),vec{r_2}(t_2))间的距离即可确定两条射线相交的情况。当然，在实践中，因为浮点数的精度问题，精确的相交很少出现，这时就需要用到一个偏差值。
上面的讨论假设没有限定(t_1,t_2)的取值范围，如果射线的长度有限（或只沿一个方向沿伸），在计算出(t_1,t_2)后，还应作适当的边界检测。