• NYOJ 整数划分


           整数划分问题是算法中的一个经典命题之一,有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分,是指把一个正整数n写成如下形式:

           n=m1+m2+...+mi; (其中mi为正整数,并且1 <= mi <= n),则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。

           如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m,即max(m1,m2,...,mi)<=m,则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);

           例如但n=4时,他有5个划分,{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};

           注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。

           该问题是求出n的所有划分个数,即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;

            ---------------------------------------------------------------------

                                               (一)递归法

            ---------------------------------------------------------------------

           根据n和m的关系,考虑以下几种情况: 

           (1)当n=1时,不论m的值为多少(m>0),只有一种划分即{1};

            (2)  当m=1时,不论n的值为多少,只有一种划分即n个1,{1,1,1,...,1};

            (3)  当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况:

                  (a). 划分中包含n的情况,只有一个即{n};

                  (b). 划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分。

                  因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);

            (4) 当n<m时,由于划分中不可能出现负数,因此就相当于f(n,n);

            (5) 但n>m时,根据划分中是否包含最大值m,可以分为两种情况:

                   (a). 划分中包含m的情况,即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m,可能再次出现m,因此是(n-m)的m划分,因此这种划分

                         个数为f(n-m, m);

                   (b). 划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,即n的(m-1)划分,个数为f(n,m-1);

                  因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

             综合以上情况,我们可以看出,上面的结论具有递归定义特征,其中(1)和(2)属于回归条件,(3)和(4)属于特殊情况,将会转换为情况(5)。而情况(5)为通用情况,属于递推的方法,其本质主要是通过减小m以达到回归条件,从而解决问题。其递推表达式如下:

             f(n, m)=       1;                                (n=1 or m=1)

                                f(n, n);                         (n<m)

                                1+ f(n, m-1);                (n=m)

                                f(n-m,m)+f(n,m-1);       (n>m)

              因此我们可以给出求出f(n, m)的递归函数代码如下(引用Copyright Ching-Kuang Shene July/23/1989的代码):

     1 #include<iostream>
     2 using namespace std;
     3 
     4 int f(int m, int n)
     5 {
     6     if(n>m)
     7         return f(m,m);
     8     if(m==1 || n==1)
     9         return 1;
    10     if(m==n)
    11         return f(m,n-1)+1;
    12     return f(m,n-1)+f(m-n,n);
    13 
    14 }
    15 
    16 int main()
    17 {
    18     int n,t;
    19     cin>>t;
    20     while(t--)
    21     {
    22         cin>>n;
    23         cout<<f(n,n)<<endl;
    24     }
    25     return 0;
    26 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/yaling/p/3038564.html
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