poj3181【Dollar Dayz】

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做完这道题，心里五味陈杂，明明是最水的一道题，我却做了最长的时间。
题意是求用1～k的和表示n的方案数。
显然是个计数dp，但我不会。思考半小时未果。
然后找尹鹏哲，他给我讲了个错的dp方程，结果调试半小时未果，看了别人的代码，发现别人虽然滚了一维，但和尹鹏哲讲的十分相似。
后来我又想了想，觉得尹鹏哲的dp方程有点问题，自己改了一下，但当时并没有验证。实际上，由于对题解方程错误理解，当时我已经形成了思维定势，认为方程是对的，却没有发现方程中一个十分微小但十分致命的错误——我把完全背包和01背包的模型搞混了。正是这个错误，让我调+改又浪费了两个小时。
好了，废话说了这么多，只是想让自己记住这次教训，希望下次不要再犯。(但背包问题的模型又多，变化又复杂，所以只能希望了)，下面写题解。
先讲二维的：
设f[i][j]表示用前i个物品，刚好凑出体积j的方案数。这个状态很好想。
然后是转移，就是在这里我的思维出现了偏差。
开始，尹鹏哲告诉我的是f[i][j]+=f[i-1][j-i],这个与一维方程一模一样，显然是不对的，但我太信任尹鹏哲，所以并没有细想。
后来，受尹鹏哲的启发，我自己写出来的方程是f[i][j]=f[i-1][j-i]+f[i-1][j]，与组合数的递推关系一样，表示第i件物品选与不选。
这个方程咋看上去没问题，实际上，这道题与组合数有着本质的区别，组合数每个物品只能选一次，而这道题一个数字显然可以用多次。但傻逼的我忽视了这个差别，结果狂WA不止。
换成背包问题的计数的话，组合数实际上是01背包的方案数，而这道题实际上是完全背包的方案数！
所以，dp方程应该为：f[i][j]=f[i][j-i]+f[i-1][j]
滚成一维就很简单了：f[j]+=f[j-i]
实际上，完全背包和01背包的代码十分相似，若碰到一定要想清楚！
另：要打高精度，详见一维代码。**
二维：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define db double
#define ll long long
#define RG register

inline int gi()
{
	RG int ret; RG bool flag; RG char ch;
	ret=0, flag=true, ch=getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9')
		ch == '-' ? flag=false : 0, ch=getchar();
	while (ch >= '0' && ch <= '9')
		ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-'0', ch=getchar();
	return flag ? ret : -ret;
}

const db pi = acos(-1.0);
const int N = 142857, inf = 1<<30;

int f[205][2005];

int main()
{
	freopen("Dollar_Dayz.in","r",stdin);
	freopen("Dollar_Dayz.out","w",stdout);
	int n,m,i,j;
	n=gi(), m=gi();
	f[1][0]=1;
	// 两种都可
	// for (i=1; i<=m; ++i)
	// 	for (j=0; j<=n; ++j)
	// 		{
	// 			if (j >= i)
	// 				f[i][j]=f[i][j-i];
	// 			f[i][j]+=f[i-1][j];
	// 		}
	for (i=1; i<=m; ++i)
		for (j=0; j<=n; ++j)
			f[i][j+i]+=f[i][j], f[i+1][j]=f[i][j];
	printf("%d
",f[m][n]);
	return 0;
}

一维：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define db double
#define ll long long
#define RG register

inline int gi()
{
	RG int ret; RG bool flag; RG char ch;
	ret=0, flag=true, ch=getchar();
	while (ch < '0' || ch > '9')
		ch == '-' ? flag=false : 0, ch=getchar();
	while (ch >= '0' && ch <= '9')
		ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-'0', ch=getchar();
	return flag ? ret : -ret;
}

const db pi = acos(-1.0);
const int N = 1e3+5, inf = 1<<30;
const ll lim = 1e18;  //要开 ll

ll f[N],g[N];

int main()
{
	freopen("Dollar_Dayz.in","r",stdin);
	freopen("std.out","w",stdout);
	int n,m,i,j;
	n=gi(), m=gi();
	g[0]=1;
	for (j=1; j<=m; ++j)
		for (i=j; i<=n; ++i)
			{
				f[i]+=f[i-j], g[i]+=g[i-j];
				if (g[i] >= lim)
					f[i]+=g[i]/lim, g[i]%=lim;
			}
	if (f[n])
		printf("%lld%lld
",f[n],g[n]);
	else
		printf("%lld
",g[n]);
	return 0;
}