引入
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一类最优化 DP：
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[f_i={min/max}_{j=0}^{i-1}{f_j+w(j+1,i)} ]
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利用 (w) 的特殊性质，可以做到 (O(nlog n)) 或 (O(n)) 的复杂度
第一类
特殊性质
- 设 (f_i) 的最优决策为 (p_i)，则对于任意 (i<j) 有 (p_i<p_j)
优化方法一
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考虑对于每个未计算出的 (f)，维护其最优决策
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即每算出一个 (f_j)，就把那些取决策 (j) 更优的 (f_i) 的最优决策更新成 (j)
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由定义可知，需要更新决策的 (i) 一定是一段后缀
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考虑用一个栈维护决策序列，对于每个决策 (j) 维护一个区间 ([l,r]) 表示 (f_{ldots r}) 的最优决策为 (j)
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当 (f_j) 计算出来的时候，先考虑栈顶的 (l)，考查 (f_j) 能否更新 (f_i) 的最优决策
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如果能就弹栈顶继续检查
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否则在栈顶的区间 ([l,r]) 中二分出一个最小的 (i) 满足 (f_i) 能被 (f_j) 更新最优决策
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把 (r) 改成 (i-1)，并把决策 (j) 压入栈，区间为 ([i,n])
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(O(nlog n))
优化方法二
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上面的方法存在一定的局限性：(w(j+1,i)) 必须能快速求出来
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当 (w(j+1,i)) 必须以 (O(i-j)) 的复杂度求出时，考虑另一种实现方式：分治
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定义分治函数
solve(l, r, xl, xr)表示 (f_{ldots r}) 的决策在 ([xl,xr]) 之间 -
取 (mid=lfloorfrac{l+r}2 floor)，求出 (f_{mid}) 的最优决策 (m)
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然后递归到
solve(l, mid - 1, xl, m)和solve(mid + 1, r, m, xr) -
还是 (O(nlog n))
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需要注意实现姿势，避免复杂度爆炸，保证单次分治的复杂度为 (O(r-l+xr-xl))
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但这种优化方法也有局限性：转移必须是 (g ightarrow f) 而不能是 (f ightarrow f)，即转移不能进行在同一个数组内
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常用于分层 DP 中
第二类
特殊性质
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(w(j,i+1)-w(j,i)) 和 (w(j+1,i+1)-w(j+1,i)) 的大小关系对于所有的 (i,j) 都一样，即满足四边形不等式
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换句话说，对于任意的两个决策 (j<k)，存在一个 (x) 满足 (ile x) 时 (j) 比 (k) 优，(i>x) 时 (j) 比 (k) 劣
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或者 (ile x) 时 (j) 比 (k) 劣，(i>x) 时 (j) 比 (k) 优
优化方法
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若 (ile x) 时 (j) 比 (k) 优，(i>x) 时 (j) 比 (k) 劣，则这和前面提到的第一类是等价的，可以直接用第一类的优化方法
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但这里讲述另一种方法
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考虑维护一个单调队列，储存对当前的 (i) 和 (i) 之后可能最优的决策
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每当计算出一个 (f_l) 之后，检查队尾的两个决策 (j,k) 是否会因为决策 (l) 的加入而使得 (k) 变成不可能最优的决策
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根据定义里提到的特殊性质，我们只需二分出一个最大的 (i) 满足决策 (k) 比 (l) 优，然后判断这时 (j) 是否比 (k) 优，是则 (k) 应该被从队尾弹出
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这样一直弹栈直到 (k) 可能最优为止
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考虑取 (f_i) 最优决策，可以证明去除了无用的决策之后，队列内剩下的决策对应 DP 值是单峰的，故从队首不断出队即可找到最优决策
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(O(nlog n))
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实际上判断是否弹队尾，有时可以使用特殊的方法代替二分来实现 (O(1)) 判断
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如斜率优化的本质就是这种形式的决策单调性优化
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若 (ile x) 时 (j) 比 (k) 劣，(i>x) 时 (j) 比 (k) 优，则最优决策要从队尾取，这时把队列改成栈即可