定义:对正整数n,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目(φ(1)=1)。
1、通式:
其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。
φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。
注意:每种质因数只一个。 比如12=2*2*3那么φ(12)=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4
若n是质数p的k次幂,
因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
![](https://gss2.bdstatic.com/9fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D211/sign=8a21a419ac18972ba73a07cbd7cd7b9d/f9198618367adab410da834e8cd4b31c8701e4b1.jpg)
设n为正整数,以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值。
2、欧拉函数是积性函数——若m,n互质, ![](https://gss3.bdstatic.com/-Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D140/sign=daa516337cec54e745ec1e1a89399bfd/bd3eb13533fa828b5d8406eefa1f4134970a5a1c.jpg)
![](https://gss3.bdstatic.com/-Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D140/sign=daa516337cec54e745ec1e1a89399bfd/bd3eb13533fa828b5d8406eefa1f4134970a5a1c.jpg)
3、当n为奇数时,,
若n为质数则
, 对于对两个素数p,q φ(pq)=pq-1。
![](https://gss3.bdstatic.com/7Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D85/sign=31100df17bd98d1072d40134203fd0be/a5c27d1ed21b0ef404180353dac451da80cb3ece.jpg)
4、欧拉函数和它本身不同质因数的关系:
直接求解欧拉函数 o(n)
筛法求欧拉函数
欧拉函数ψ(N)=N{∏p|N}(1-1/p) ,
![](https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D153/sign=6ffd676c08b30f24319ae806fb94d192/8ad4b31c8701a18b93a2de42992f07082838fe76.jpg)
亦即:
![](https://gss3.bdstatic.com/-Po3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D191/sign=8a3c0d0c5b6034a82de2bc88fa1349d9/b812c8fcc3cec3fdef1a2378d188d43f87942792.jpg)
(P是数N的质因数)
如:
ψ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4;
ψ(30)=30×(1-1/2)×(1-1/3)×(1-1/5)=8;
5、除了N=2,φ(N)都是偶数。
6、设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N)。
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 int eular(int n) 4 { 5 int ret=1,i; 6 for(i=2;i*i<=n;i++) 7 { 8 if(n%i==0) 9 { 10 n/=i,ret*=i-1; 11 while(n%i==0) n/=i,ret*=i; 12 } 13 } 14 if(n>1) ret*=n-1; 15 return ret; 16 } 17 int main () 18 { 19 int n,s; 20 scanf("%d",&n); 21 s=eular(n); 22 printf("%d",s); 23 return 0; 24 }
它在O(N)的时间内遍历了所有的数,并且有很多的附加信息,
那么我们是不是能在筛素数的同时求出所有数的欧拉函数呢?
答案是可以。
φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk),其中p1、p2…pk为n的所有素因子。
比如:φ(12)=12*(1-1/2)(1-1/3)=4。
利用这个就比较好求了,可以用类似求素数的筛法。
先筛出N以内的所有素数,再以素数筛每个数的φ值。
比如求10以内所有数的φ值:
设一数组phi[11],赋初值phi[1]=1,phi[2]=2...phi[10]=10;
然后从2开始循环,把2的倍数的φ值*(1-1/2),则phi[2]=2*1/2=1,phi[4]=4*1/2=2,phi[6]=6*1/2=3....;
再是3,3的倍数的φ值*(1-1/3),则phi[3]=3*2/3=2,phi[6]=3*2/3=2,phi[9]=.....;
再5,再7...因为对每个素数都进行如此操作,因此任何一个n都得到了φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk)的运算
觉得这个“筛”还是比较好用的,以前求数的所有因子之和也是用的它。【转】
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 <span style="font-size:18px;"><span style="font-size:18px;">void Init(){ 2 euler[1]=1; 3 for(int i=2;i<Max;i++) 4 euler[i]=i; 5 for(int i=2;i<Max;i++) 6 if(euler[i]==i) 7 for(int j=i;j<Max;j+=i) 8 euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 9 } </span></span>
√ 欧拉定理
若a,n是正整数,且a,n互质,则有a^ φ(n) mod n =1。
实际上这是费马小定理的一个推广。
我们看费马小定理:a^(p-1) % p =1,而对于欧拉函数φ(n),当n为素数时,根据其实际意义,显然φ(n)=n-1,带入欧拉定理的式子,其实就得到了费马小定理。