面试题36：数组中的逆序对

题目：在数组中的两个数字如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。例如，有一个数组为Array[0..n] 其中有元素a[i]，a[j].如果 当i<j时，a[i]>a[j],那么我们就称（a[i],a[j]）为一个逆序对。在数组{7,5,6,4}中一共存在5对逆序对，分别是(7,6),(7,5),(7,4),(6,4),(5,4)。

参考文献

排序算法汇总->归并排序

解题思路

看到这样的题目，最简单的想法就是遍历每一个元素，让其与后面的元素对比，如果大于则count++，但是这样的时间复杂度是o(n²)。这题有更好的解决方法，时间复杂度只需要o(nlogn)。其实这道题目的思路跟归并排序差不多，求逆序对的过程就是一个求归并排序的过程，在求出逆序对以后，原数组变得有序，是通过归并排序得到的。

（1）总体的意思就是将数组分成两段，首先求段内的逆序对数量，比如下面两段代码就是求左右两端数组段内的逆序对数量

inversions+=InversePairsCore(arry,start,mid,temp);//找左半段的逆序对数目
inversions+=InversePairsCore(arry,mid+1,end,temp);//找右半段的逆序对数目

（2）然后求段间的逆序对数量，如下面的代码

inversions+=MergeArray(arry,start,mid,end,temp);//在找完左右半段逆序对以后两段数组有序，然后找两段之间的逆序对。最小的逆序段只有一个元素。

（3）然后在求段间逆序对的时候，我们分为arry[start...mid]和arry[mid+1...end]，然后设置两个指针ij分别指向两段数组的末尾元素，也就是i=mid，j=end。然后比较arry[i]和arry[j]，

1. 如果arry[i]>arry[j]，因为两段数组都是有序的，所以arry[i]>arry[mid+1...j]，这些都是逆序对，我们统计出的逆序对为j-(mid+1)+1=j-mid。并且将大数arry[i]放入临时数组temp[]当中，i往前移动
2. 如果arry[i]<arry[j]，则将大数arry[j]放入temp[]中，j往前移。

完整实现代码

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

void printArray(int arry[],int len)
{
    for(int i=0;i<len;i++)
        cout<<arry[i]<<" ";
    cout<<endl;
}
int MergeArray(int arry[],int start,int mid,int end,int temp[])//数组的归并操作
{
    //int leftLen=mid-start+1;//arry[start...mid]左半段长度
    //int rightLlen=end-mid;//arry[mid+1...end]右半段长度

    int i=mid;
    int j=end;
    int k=0;//临时数组末尾坐标
    int count=0;
    //设定两个指针ij分别指向两段有序数组的头元素，将小的那一个放入到临时数组中去。
    while(i>=start&&j>mid)
    {
        if(arry[i]>arry[j])
        {
            temp[k++]=arry[i--];//从临时数组的最后一个位置开始排序
            count+=j-mid;//因为arry[mid+1...j...end]是有序的，如果arry[i]>arry[j]，那么也大于arry[j]之前的元素，从a[mid+1...j]一共有j-(mid+1)+1=j-mid
            
        }
        else
        {
            temp[k++]=arry[j--];
        }
    }
    cout<<"调用MergeArray时的count："<<count<<endl;
    while(i>=start)//表示前半段数组中还有元素未放入临时数组
    {
        temp[k++]=arry[i--];
    }

    while(j>mid)
    {
        temp[k++]=arry[j--];
    }

    //将临时数组中的元素写回到原数组当中去。
    for(i=0;i<k;i++)
        arry[end-i]=temp[i];

    printArray(arry,8);//输出进过一次归并以后的数组，用于理解整体过程
    return count;

}

int InversePairsCore(int arry[],int start,int end,int temp[])
{
    int inversions = 0;  
    if(start<end)
    {
        int mid=(start+end)/2;
        inversions+=InversePairsCore(arry,start,mid,temp);//找左半段的逆序对数目
        inversions+=InversePairsCore(arry,mid+1,end,temp);//找右半段的逆序对数目
        inversions+=MergeArray(arry,start,mid,end,temp);//在找完左右半段逆序对以后两段数组有序，然后找两段之间的逆序对。最小的逆序段只有一个元素。
    }    
    return inversions;
}


int InversePairs(int arry[],int len)
{
    int *temp=new int[len];
    int count=InversePairsCore(arry,0,len-1,temp);
    delete[] temp;
    return count;
}

void main()
{
    //int arry[]={7,5,6,4};
    int arry[]={1,3,7,8,2,4,6,5};
    int len=sizeof(arry)/sizeof(int);
    //printArray(arry,len);
    int count=InversePairs(arry,len);
    //printArray(arry,len);
    //cout<<count<<endl;
    system("pause");
}

 输出结果:

调用MergeArray时的count：0
1 3 7 8 2 4 6 5
调用MergeArray时的count：0
1 3 7 8 2 4 6 5
调用MergeArray时的count：0
1 3 7 8 2 4 6 5
调用MergeArray时的count：0
1 3 7 8 2 4 6 5
调用MergeArray时的count：1//这是因为上面65之间有段内的逆序对
1 3 7 8 2 4 5 6
调用MergeArray时的count：0
1 3 7 8 2 4 5 6
调用MergeArray时的count：9//这里全部都是段间的逆序对，(3,2),(7,2),(7,4),(7,5),(7,6),(8,2),(8,4),(8,5),(8,6),一共有九个
1 2 3 4 5 6 7 8
逆序对数量：10