题160908（14分）对正整数$n$及一切实数$x$，求证：
$left[ x ight]+left[ x+dfrac{1}{n} ight]+left[ x+dfrac{2}{n} ight]+cdots +left[ x+dfrac{n-1}{n} ight]=left[ nx ight]$．
注：$left[ x ight]$为取整函数，即不超过$x$的最大整数．
题目来源：重要恒等式——厄尔米特恒等式，特别地，$n=2$时有$left[ x ight]+left[ x+dfrac{1}{2} ight]=left[ 2x ight]$．
解：对任意的正整数$n$，构造函数$fleft( x ight)=left[ nx ight]-left[ x ight]-left[ x+dfrac{1}{n} ight]-left[ x+dfrac{2}{n} ight]-cdots -left[ x+dfrac{n-1}{n} ight]$，
则$fleft( x+dfrac{1}{n} ight)$
$=left[ nx ight]+1-left[ x+dfrac{1}{n} ight]-left[ x+dfrac{2}{n} ight]-cdots -left[ x+dfrac{n-1}{n} ight]-left( left[ x ight]+1 ight)$
$=fleft( x ight)$
所以函数$fleft( x ight)$为周期函数，其周期$T=dfrac{1}{n}$，
因此原命题只需证明$fleft( x ight)=0$在区间内成立即可，显然成立．
法2：设$x=left[ x ight]+left{ x ight}$，且$left{ x ight}in left[ dfrac{k}{n},dfrac{k+1}{n} ight)$，$k$是非负整数．
右端$=nleft[ x ight]+left[ nleft{ x ight} ight]=nleft[ x ight]+k$，
左端$=nleft[ x ight]+left[ left{ x ight}+dfrac{1}{n} ight]+left[ left{ x ight}+dfrac{2}{n} ight]+cdots ++left[ left{ x ight}+dfrac{n-1}{n} ight]$，
注意到$left{ x ight}in left[ dfrac{k}{n},dfrac{k+1}{n} ight)$，显然从$left[ left{ x ight}+dfrac{n-k}{n} ight]$项起都是$1$，
即$left[ left{ x ight}+dfrac{n-k}{n} ight]=left[ left{ x ight}+dfrac{n-left( k-1 ight)}{n} ight]=cdots =left[ left{ x ight}+dfrac{n-1}{n} ight]=1$，
共$k$个$1$（之前其他项都是$0$）．
从而左端也是$nleft[ x ight]+k$，得证．