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当参变分离遇见洛必达
我校2016$ hicksim$2017学年度(上期)半期高三(理科)考试第21题
已知函数
( extit{f}( extit{x})=dfrac{(2 extit{x}-1);! ext{e}^{2 extit{x}}}{4}-dfrac{ extit{m}}{2} extit{x}^2)
和函数
( extit{g}( extit{x})= extit{x}ln extit{x})
(其中
( ext{e}=2.71828cdots)
).
(1)若函数
( extit{f}( extit{x}))
有两个零点,求
( extit{m})
的取值范围;
【分析】函数
(f(x))
有两个零点
(Rightarrow)
方程
(m=dfrac{(2x-1) ext{e}^{2x}}{2x^2})
有两根
(Rightarrow y=m)
与
(y=dfrac{(2x-1) ext{e}^{2x}}{2x^2})
有两个交点
(Rightarrow h(t)=dfrac{2(t-1) ext{e}^{t}}{t^2}(t=2x)Rightarrow h'(t)=dfrac{2(t^2-2t+2) ext{e}^t}{t^3})
(注意:求导的快、准、狠的技巧)
(Rightarrow)
函数
(y=dfrac{(2x-1) ext{e}^{2x}}{2x^2})
的草图
显然,当
(x ightarrow -infty)
时,
(y=dfrac{(2x-1) ext{e}^{2x}}{2x^2} ightarrow 0)
(洛必达法则)
(Rightarrow m<0)
(还可以,
(x ightarrow -infty)
,
(y=dfrac{(2x-1) ext{e}^{2x}}{2x^2}=dfrac{2+frac{1}{-x}}{2x ext{e}^{-2x}} ightarrow 0)
)
【练习】已知函数
(f(x)=(x-2) ext{e}^x+a(x-1)^2)
有两个零点.
(1)求
(a)
的取值范围;
(2016年新课标卷I理21题)
每周看看我,冲进985!【魏刚的作品,转载须声明】
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原文地址:https://www.cnblogs.com/xuebajunlutiji/p/6045671.html
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