ABC231G & ABC232G 题解

「ABC231G」Balls in Boxes（期望推式子 + DP）

题面

题意：

有 \(n\) 个盒子，每个盒子里一开始有 \(A_i\) 个球，你可以进行 \(K\) 次如下操作：

• 随机选择一个盒子，往这个盒子里放入一个球。

设 \(B_i\) 为第 \(i\) 个盒子里最终有的球的数量，权值 为 \(\prod\limits_{i=1}^n B_i\)，求期望权值大小。

数据范围：\(1\le n\le10^3\)，\(1\le K\le 10^9\)，\(0\le A_i\le10^9\)。

将 \(B_i\) 拆成 \(A_i+X_i\)，其中 \(X_i\) 是第 \(i\) 个盒子里被选中的次数。这样做的好处是把每个 \(A_i\) 和 \(X_i\) 拆出来了，利用了 \(X_i\) 独立的性质。

\[\begin{aligned} &E[\prod\limits_{i=1}^n(A_i+X_i)]\\ =&\sum\limits_{i=1}^n S_{n,i}(A_1,A_2,\dots,A_n)E(\prod\limits_{j=1}^{n-i}X_j) \end{aligned} \]

其中 \(S_{n,i}(A_1,A_2,\dots,A_n)\) 为在 \(A_1,A_2,\dots,A_n\) 中选出 \(i\) 个数的乘积的和。

对于前后两部分分开算：

• 前一部分可以直接 DP：设 \(f_{i,j}\) 为前 \(i\) 个数选了 \(j\) 个的乘积的和，则 \(f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}\times A_i\)。

• 后一部分继续拆式子，设 \(X_{i,j}\) 为第 \(j\) 轮是否选中 \(i\)：

  \[\begin{aligned} &E(\prod\limits_{i=1}^m X_i)\\ =&E[\prod\limits_{i=1}^m(\sum\limits_{j=1}^K X_{i,j})]\\ =&\sum\limits_{j_1,j_2,\dots,j_n}E(\prod\limits_{i=1}^m X_{i,j_i}) \end{aligned} \]

  容易发现在 \(j_i\) 和 \(j_o\) 相同的时候 \(X_{i,j_i}\not= X_{o,j_o}\)，即它们两个中一定有一个 \(0\)，这个时候 \(E(\prod\limits_{i=1}^m X_{i,j_i})\) 为 \(0\)，否则 \(E(\prod\limits_{i=1}^m X_{i,j_i})\) 就等于 \((\frac{1}{n})^m\)。因为每一个 \(j_i\) 之间有顺序关系，那么这一个式子就为 \(\prod\limits_{i=1}^{m}(K-i+1)(\frac{1}{n})^m\)。可以递推计算。

将两部分式子拼起来就是答案。

Code：https://atcoder.jp/contests/abc231/submissions/29979297。

「ABC232G」Modulo Shortest Path（优化建图 + 最短路）

题面

题意：

有一张 \(n\) 个点的有向完全图，每个点有两个属性 \(A_i\) 和 \(B_i\)，点 \(i\) 向点 \(j\) 连的边边权为 \((A_i+B_j)\mod M\)。问图中 \(1\) 到 \(n\) 的最短路。

数据范围：\(2\le n\le2\times10^5\)，\(2\le M\le10^9\)，\(0\le A_i,B_i<M\)。

直接把图建出来肯定是不现实的，于是考虑怎么优化连边。

建两层点分别为 \(1\sim n\) 和 \(n+1\sim 2n\)，大概可以理解为入点和出点。

把 \(B\) 数组排序，设排序后 \(B\) 数组的第 \(i\) 项原本是 \(c_i\)，那么 \(\forall 1\le i<n\)，连边 \((c_i+n,c_{i+1}+n,B_{i+1}-B_i)\)。然后对于每一个 \(i\)，在排序后的 \(B\) 中找到大于等于 \(M-A_i\) 最小的 \(B\) 的位置（设为 \(j\)），那么连边 \((i,c_j+n,A_i+B_j-M)\)，这样之后的点就肯定会优先走这条边（因为之前的边肯定不优）。最后连边 \((i+n,i,0)\)，表示走回去。

跑一遍 Dijkstra 即可。

Code：https://atcoder.jp/contests/abc232/submissions/29948754。